Question

Решение дифференциального уравнения 2y''+y'-y=0 для условий y(0)=1, y'(0)=-2

Answer 1

$2y''+y'-y=0,\ y(0)=1,\ y'(0)=-2$

Составим характеристическое уравнение:

$2\lambda^2+\lambda-1=0$

$D=1-4\cdot2\cdot(-1)=9$

$\lambda_1=\dfrac{-1-\sqrt{9} }{2\cdot2} =-1$

$\lambda_2=\dfrac{-1+\sqrt{9} }{2\cdot2} =\dfrac{1}{2}$

Общее решение уравнения:

$y=C_1e^{-x}+C_2e^{\frac{1}{2}x }$

Найдем производную:

$y'=-C_1e^{-x}+\dfrac{1}{2} C_2e^{\frac{1}{2}x }$

Составим систему по заданным начальным условиям:

$\begin{cases} C_1e^{-0}+C_2e^{\frac{1}{2}\cdot0 }=1\\ -C_1e^{-0}+\dfrac{1}{2} C_2e^{\frac{1}{2}\cdot0}=-2 \end{cases}$

Учитывая, что $e^0=1$, получим:

$\begin{cases} C_1+C_2=1\\ -C_1+\dfrac{1}{2} C_2=-2 \end{cases}$

Складывая уравнения, получим:

$\dfrac{3}{2} C_2=-1$

$C_2=-\dfrac{2}{3}$

Из первого уравнения системы получим:

$C_1=1-C_2$

$C_1=1-\left(-\dfrac{2}{3}\right)=\dfrac{5}{3}$

Тогда, частное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

$\boxed{y=\dfrac{5}{3} e^{-x}-\dfrac{2}{3} e^{\frac{1}{2}x }}$

Answer 2

Чтобы решить данное дифференциальное уравнение, мы можем воспользоваться методом Лапласа.

Сначала найдем преобразование Лапласа для каждого члена уравнения: - Применим свойство линейности преобразования Лапласа к уравнению и получим уравнение вида: 2L(y'') + L(y') - L(y) = 0, где L обозначает преобразование Лапласа.

- Применим свойство производной в преобразовании Лапласа и получим: 2s^2Y(s) - 2sy(0) - y'(0) + sY(s) - y(0) - Y(s) = 0, где Y(s) обозначает преобразование Лапласа функции y(t).

- Подставим начальные условия, y(0) = 1 и y'(0) = -2: 2s^2Y(s) - 2s - (-2) + sY(s) - 1 - Y(s) = 0.

- Перегруппируем члены уравнения: (2s^2 + s - 1)Y(s) = 2s - 1.

- Разделим обе части уравнения на (2s^2 + s - 1): Y(s) = (2s - 1)/(2s^2 + s - 1).

Теперь мы можем найти обратное преобразование Лапласа для Y(s) и получить решение для y(t).

- Разложим знаменатель 2s^2 + s - 1 на множители: 2s^2 + s - 1 = (2s - 1)(s + 1).

- Запишем правую часть в рациональных дробях с использованием метода неопределенных коэффициентов: (2s - 1)/(2s^2 + s - 1) = A/(2s - 1) + B/(s + 1), где A и B - неизвестные коэффициенты, которые нужно найти.

- Найдем A и B, умножив обе части уравнения на знаменатель 2s^2 + s - 1: 2s - 1 = A(s + 1) + B(2s - 1).

- Раскроем скобки и сгруппируем по степеням s: 2s - 1 = (A + 2B)s + (A - B).

- Сравним коэффициенты при одинаковых степенях s с двух сторон уравнения: A + 2B = 2, A - B = -1.

- Решим полученную систему уравнений и найдем значения A и B: A = 1, B = 1.

Заменим найденные значения A и B в выражении (2s - 1)/(2s^2 + s - 1): (2s - 1)/(2s^2 + s - 1) = 1/(2s - 1) + 1/(s + 1).

Теперь вычислим обратное преобразование Лапласа для Y(s): Y(s) = 1/(2s - 1) + 1/(s + 1).

Теперь найдем обратное преобразование Лапласа для каждого члена правой части уравнения: y(t) = L^(-1)[1/(2s - 1)] + L^(-1)[1/(s + 1)].

- Воспользуемся таблицей преобразований Лапласа и найдем обратное преобразование для первого члена: L^(-1)[1/(2s - 1)] = e^(t/2).

- Найдем обратное преобразование Лапласа для второго члена: L^(-1)[1/(s + 1)] = e^(-t).

Таким образом, решение данного дифференциального уравнения 2y'' + y' - y = 0 для условий y(0) = 1, y'(0) = -2 будет иметь вид: y(t) = e^(t/2) + e^(-t).