Question

В ящике 10 белых и 15 черных шаров. Извлекают последовательно наудачу 2 шара. Найти вероятность того, что оба шара белые, если а) шары возвращаются в ящик, б) шары не возвращаются в ящик.

Answer 1

а) шары возвращаются в ящик

Вероятность вытянуть один белый шар = количество белых шаров/количество шаров в ящике = 10/25 = 2/5

Вероятность вытянуть два белых шара подряд = 2/5 * 2/5 = 4/25

б) шары не возвращаются в ящик

Вероятность вытянуть один белый шар = 2/5

Вероятность вытянуть второй белый шар = 9/24 (так как мы первый шар обратно в ящик не вернули)

Вероятность вытянуть два белых шара подряд = 2/5 * 9/24 = 18/120 = 3/20

Answer 2

Для решения задачи с вероятностями, мы можем использовать комбинаторику. Первым шагом определим общее количество исходов при извлечении двух шаров из ящика.

1. Общее количество исходов (возможных пар шаров): \[ C_{общ} = C_{белые} \times C_{черные}, \] где \( C_{белые} \) - количество белых шаров, а \( C_{черные} \) - количество черных шаров.

В данном случае: \[ C_{белые} = 10, \] \[ C_{черные} = 15. \] Поэтому общее количество исходов: \[ C_{общ} = 10 \times 15 = 150. \]

Теперь рассмотрим два случая:

а) Шары возвращаются в ящик после каждого извлечения.

2. Количество исходов, когда оба шара белые: \[ C_{белые_возвращаются} = C_{белые} \times C_{белые}, \] где \( C_{белые} \) - количество белых шаров, и оба шара возвращаются в ящик.

\[ C_{белые_возвращаются} = 10 \times 10 = 100. \]

Теперь вероятность того, что оба шара белые: \[ P_{белые_возвращаются} = \frac{C_{белые_возвращаются}}{C_{общ}} = \frac{100}{150} = \frac{2}{3}. \]

б) Шары не возвращаются в ящик после каждого извлечения.

2. Количество исходов, когда оба шара белые: \[ C_{белые_не_возвращаются} = C_{белые} \times (C_{белые} - 1), \] где \( C_{белые} \) - количество белых шаров, и каждый раз извлекается по одному шару, и они не возвращаются в ящик.

\[ C_{белые_не_возвращаются} = 10 \times 9 = 90. \]

Теперь вероятность того, что оба шара белые: \[ P_{белые_не_возвращаются} = \frac{C_{белые_не_возвращаются}}{C_{общ}} = \frac{90}{150} = \frac{3}{5}. \]

Итак, ответ: а) Вероятность того, что оба шара белые при возвращении в ящик: \( \frac{2}{3} \). б) Вероятность того, что оба шара белые при отсутствии возвращения в ящик: \( \frac{3}{5} \).