Question

В партии из 10 ламп одна дефектна. Наугад берут четыре лампы. Найти вероятность, что все взятые лампы окажутся исправными.

Answer 1

всего 10 ламп; из них 9 исправных и 1 дефектна.

P = m/n

$n = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!\cdot 6!} = \frac{7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{2\cdot 3\cdot 4} = 7\cdot 3\cdot 10$

$m = C_9^4 = \frac{9!}{4!\cdot 5!} = \frac{6\cdot 7\cdot 8\cdot 9}{2\cdot 3\cdot 4} = 2\cdot 7\cdot 9$

$P = \frac{2\cdot 7\cdot 9}{7\cdot 3\cdot 10} = \frac{3}{5} = 0{,}6$

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, давайте воспользуемся комбинаторикой и вероятностью. Поскольку у нас есть 10 ламп, и из них одна дефектная, общее число ламп будет 10.

Мы хотим найти вероятность того, что из четырех взятых ламп все будут исправными.

Общее количество способов выбрать 4 лампы из 10 можно выразить с помощью биномиального коэффициента C(n, k), где n - общее количество элементов, k - количество элементов, которые мы выбираем. Формула для биномиального коэффициента:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где "!" обозначает факториал.

Таким образом, общее количество способов выбрать 4 лампы из 10:

\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4!(10-4)!} \]

Теперь у нас есть 9 исправных ламп и 1 дефектная. Мы хотим выбрать 4 исправные лампы из 9. Общее количество способов выбрать 4 лампы из 9:

\[ C(9, 4) = \frac{9!}{4!(9-4)!} \]

Таким образом, вероятность того, что все выбранные лампы будут исправными, равна отношению количества способов выбрать 4 исправные лампы из 9 к общему количеству способов выбрать 4 лампы из 10:

\[ P = \frac{C(9, 4)}{C(10, 4)} \]

Вычислим значения:

\[ P = \frac{\frac{9!}{4!(9-4)!}}{\frac{10!}{4!(10-4)!}} \]

\[ P = \frac{\frac{9!}{4!5!}}{\frac{10!}{4!6!}} \]

\[ P = \frac{\frac{9! \cdot 6!}{5!}}{\frac{10! \cdot 6!}{5!}} \]

\[ P = \frac{9!}{10!} \]

\[ P = \frac{1}{10} \]

Таким образом, вероятность того, что все выбранные лампы будут исправными, равна \(\frac{1}{10}\).