Question

В урне три белых и три черных шара. Два игрока поочередно вынимают из урны по шару, не возвращая их обратно. Выигрывает тот, кто раньше получит белый шар. Найдите вероятность того, что выиграет игрок, который начинал вынимать шары.

Answer 1

Ответ: $\dfrac{13}{20}.$

Пошаговое объяснение: ${}$ Первый выигрывает в двух случаях: или он сразу вынет белый шар (вероятность этого $\dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2}$ ), или он сначала вынет черный шар (три возможности из шести), соперник тоже вынет черный шар (две возможности из пяти), после чего первый вынет белый шар (три возможности из четырех). Вероятность этого $\dfrac{3}{6}\cdot \dfrac{2}{5}\cdot \dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{20}$.  Если первый вынет черный шар, второй вынет черный шар, после чего первый снова вынет черный шар, то черных шаров не останется, поэтому второй вынет белый шар, в результате чего выиграет.

Окончательный ответ  $\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{20}=\dfrac{13}{20}.$

Answer 2

Для определения вероятности выигрыша игрока, который начинал вынимать шары, необходимо рассмотреть все возможные исходы игры.

Пусть A1, A2, A3 обозначают событие, когда первый шар вынул игрок 1, и он получил белый, черный или еще один черный шар соответственно. Также заметим, что если первый шар вынул игрок 1 и он получил черный шар, то передача хода переходит ко второму игроку. Обозначим это как A4.

Аналогично, пусть B1, B2, B3, B4, обозначают событие, когда первый шар вынул игрок 2, и он получил белый, черный, белый или черный шар соответственно.

Теперь рассмотрим все возможные исходы игры:

1) A1: игрок 1 вынул белый шар и выиграл. 2) A2: игрок 1 вынул черный шар, ход переходит ко второму игроку. 2.1) B1: игрок 2 вынул белый шар и выиграл. 2.2) B2: игрок 2 вынул черный шар, ход возвращается к игроку 1. 2.2.1) A1: игрок 1 вынул белый шар и выиграл. 2.2.2) A3: игрок 1 вынул черный шар, ход переходит ко второму игроку. 2.2.2.1) B1: игрок 2 вынул белый шар и выиграл. 2.2.2.2) B3: игрок 2 вынул черный шар, ход возвращается к игроку 1. 2.2.2.2.1) A1: игрок 1 вынул белый шар и выиграл. 2.2.2.2.2) A4: игрок 1 вынул черный шар, ход переходит ко второму игроку. 2.2.2.2.2.1) B1: игрок 2 вынул белый шар и выиграл. 2.2.2.2.2.2) B4: игрок 2 вынул черный шар и проиграл (так как в урне нет больше шаров). 3) A3: игрок 1 вынул черный шар, ход переходит ко второму игроку. 3.1) B1: игрок 2 вынул белый шар и выиграл. 3.2) B2: игрок 2 вынул черный шар, ход возвращается к игроку 1. 3.2.1) A1: игрок 1 вынул белый шар и выиграл. 3.2.2) A3: игрок 1 вынул черный шар, ход переходит ко второму игроку. 3.2.2.1) B1: игрок 2 вынул белый шар и выиграл. 3.2.2.2) B3: игрок 2 вынул черный шар, ход возвращается к игроку 1. 3.2.2.2.1) A1: игрок 1 вынул белый шар и выиграл. 3.2.2.2.2) A4: игрок 1 вынул черный шар и проиграл (так как в урне нет больше шаров).

Итак, у нас существует только 2 исхода, когда игрок 1 выигрывает игру: A1 и B1. Всего возможно 4 исхода, поэтому вероятность выигрыша игрока 1 составляет 2/4 = 1/2 = 0.5.