Question

а прямоугольном треугольнике катеты равны 6 и 8 найдите сумму радиусов описанной и вписанной окружности​

Answer 1

Ответ:

7

Пошаговое объяснение:

a=6, b=8 - катеты прямоугольного треугольника

с - гипотенуза прямоугольного треугольника

с = √(a²+b²) = √(6²+8²) = √(36+64)=√100 = 10

r - радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности равен сумме катетов минус гипотенуза, деленные на два, т.е.

r = (a+b-c)/2

r = (6+8-10)/2 = 4/2 = 2

R - радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, т.е.

R= c/2

R = 10/2 = 5

Сумма радиусов описанной и вписанной окружности​

r + R = 2 + 5 = 7

Answer 2

Для нахождения радиусов описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника с катетами длиной 6 и 8, можно воспользоваться следующими формулами:

1. Радиус вписанной окружности (r): Полупериметр треугольника равен сумме длин его сторон, деленной на 2, то есть \( p = \frac{a + b + c}{2} \), где \( a \) и \( b \) - катеты, \( c \) - гипотенуза. Площадь \( S \) треугольника выражается через полупериметр и радиус вписанной окружности как \( S = pr \). Известно, что в прямоугольном треугольнике полупериметр \( p \) равен половине гипотенузы, то есть \( p = \frac{a + b + c}{2} = \frac{6 + 8 + c}{2} = \frac{14 + c}{2} = \frac{c}{2} + 7 \). Отсюда \( c = 2p - 14 \). Также, известно, что площадь прямоугольного треугольника равна \( S = \frac{1}{2} \times a \times b \), где \( a \) и \( b \) - катеты. В данном случае \( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \).

2. Радиус описанной окружности (R): Половина гипотенузы прямоугольного треугольника равна радиусу описанной окружности. Для нахождения гипотенузы прямоугольного треугольника можно воспользоваться теоремой Пифагора: \( c^2 = a^2 + b^2 \). В данном случае \( c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \) и следовательно, \( c = 10 \). Таким образом, радиус описанной окружности \( R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \).

Итак, мы нашли: - Радиус вписанной окружности \( r \). - Радиус описанной окружности \( R \).

Осталось найти радиусы \( r \) и \( R \) для данного треугольника.

1. Радиус вписанной окружности:

Площадь треугольника равна \( S = pr \). Мы уже вычислили площадь \( S = 24 \).

Известно, что полупериметр равен \( p = \frac{c}{2} + 7 = \frac{10}{2} + 7 = 5 + 7 = 12 \). Теперь можем найти радиус вписанной окружности \( r \):

\[ S = pr \] \[ 24 = 12r \] \[ r = \frac{24}{12} \] \[ r = 2 \]

2. Радиус описанной окружности:

У нас уже есть длина гипотенузы \( c = 10 \), а радиус описанной окружности \( R \) равен половине длины гипотенузы:

\[ R = \frac{c}{2} = \frac{10}{2} = 5 \]

Итак, сумма радиусов описанной и вписанной окружностей равна:

\[ r + R = 2 + 5 = 7 \]

Таким образом, сумма радиусов описанной и вписанной окружностей прямоугольного треугольника равна 7.