Question

Найти критические точки промежутки возрастания и убывания функции f(x)=2x^3-3x^2-12x​

Answer 1

Убывает на: (-1;2)
возрастает на: (-бесконечность; -1); (2;+беск)

Answer 2

Для нахождения критических точек, промежутков возрастания и убывания функции f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x, мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции f'(x).

Для этого возьмем производную каждого слагаемого по отдельности и применим правило дифференцирования степенной функции:

f'(x) = d/dx (2x^3) - d/dx (3x^2) - d/dx (12x)

f'(x) = 6x^2 - 6x - 12

2. Найдем критические точки, где производная равна нулю или не существует.

Чтобы найти критические точки, мы должны решить уравнение f'(x) = 0:

6x^2 - 6x - 12 = 0

Мы можем разделить это уравнение на 6, чтобы упростить его:

x^2 - x - 2 = 0

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Мы можем либо факторизовать его, либо использовать квадратное уравнение:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отсюда получаем два значения x: x = 2 и x = -1. Эти значения являются критическими точками функции.

3. Определим промежутки возрастания и убывания функции.

Чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции, мы можем построить таблицу знаков производной f'(x) на основе критических точек и других значений x:

| x | -∞ | -1 | 2 | +∞ | |------|-----|-----|-----|-----| | f'(x)| - | 0 | - | + | | f(x) | + | 0 | - | + |

Из таблицы знаков мы видим, что функция f(x) возрастает на интервале (-∞, -1) и убывает на интервалах (-1, 2) и (2, +∞).

4. Найдем значения функции в критических точках.

Чтобы найти значения функции f(x) в критических точках, мы можем подставить x = 2 и x = -1 в исходную функцию:

f(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) = 16 - 12 - 24 = -20

f(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) = -2 - 3 + 12 = 7

Таким образом, функция f(x) принимает значение -20 в точке x = 2 и значение 7 в точке x = -1.

Итак, мы нашли: - Критические точки функции f(x): x = 2 и x = -1. - Промежутки возрастания функции f(x): (-∞, -1). - Промежутки убывания функции f(x): (-1, 2) и (2, +∞). - Значение функции f(x) в критической точке x = 2: f(2) = -20. - Значение функции f(x) в критической точке x = -1: f(-1) = 7.

Надеюсь, эта информация полезна! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, пожалуйста, дайте мне знать.