Question

10. Определите центр и радиус окружности, заданной уравнением: 1) (3 - 7)2+(y+ 2)2 = 25; 2) (x-4)2 + y2 = 1.​

Answer 1

Ответ:

1) центр окружности точка (7; -2);  радиус 5

2) центр окружности точка (4; -0); радиус 1

Пошаговое объяснение:

Уравнение окружности

( x – x₀)² + ( y – y₀)² = R² , где центр окружности О(х₀; у₀), радиус R

Теперь легко отвечаем на вопрос.

1)     (x - 7)²+(y+ 2)² = 25;

(x - 7)² + (y - (-2))² = 5²

центр окружности точка (7; -2)

радиус 5

2)    (x-4)² + y² = 1

(x - 4)² + (y - 0)² = 1²

центр окружности точка (4; -0)

радиус 1

Answer 2

Для определения центра и радиуса окружности по уравнению, необходимо привести его к каноническому виду. Каноническая форма уравнения окружности имеет вид \((x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2\), где \((h, k)\) - координаты центра окружности, а \(r\) - радиус.

Давайте рассмотрим каждое уравнение по отдельности:

1. Уравнение \(1) (3 - 7)^2 + (y + 2)^2 = 25\): Раскроем скобки и упростим: \((y - 5)^2 + (y + 2)^2 = 25\) \(y^2 - 10y + 25 + y^2 + 4y + 4 = 25\) \(2y^2 - 6y + 4 = 0\)

Теперь приведем уравнение к каноническому виду. Для этого дополним квадрат и вынесем коэффициент: \(2(y^2 - 3y + 2) = 0\) \(y^2 - 3y + 2 = 0\)

Формула для нахождения координат центра и радиуса: \(h = -\frac{b}{2a}\), \(k = f(h)\), \(r = \sqrt{f(h) + k}\)

В данном случае: \(a = 1\), \(b = -3\), \(c = 2\) \(h = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2}\)

Подставляем \(h\) в уравнение для \(k\): \(k = \frac{1}{4}h^2 - \frac{3}{2}h + 2\)

Радиус: \(r = \sqrt{\frac{1}{4}h^2 - \frac{3}{2}h + 2 + k}\)

2. Уравнение \(2) (x - 4)^2 + y^2 = 1\): Это уравнение уже находится в канонической форме, где \(h = 4\), \(k = 0\), и \(r = 1\).

Таким образом, для первого уравнения центр окружности \((1)\) - \(\left(\frac{3}{2}, \frac{1}{4}\right)\), а радиус \(\sqrt{\frac{1}{4}\left(\frac{3}{2}\right)^2 - \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right) + 2 + \frac{1}{4}}\).

Для второго уравнения центр окружности \((2)\) - \((4, 0)\), а радиус \(1\).