Question

Складіть квадратне рівняння, корені якого на два менші, ніж відповідні корені рівняння х²+10x - 3 = 0

Answer 1

Для того чтобы составить квадратное уравнение, корни которого на два меньше, чем корни уравнения \(x^2 + 10x - 3 = 0\), давайте обозначим корни данного уравнения через \(p\) и \(q\). Таким образом, у нас есть:

\[x^2 + 10x - 3 = (x - p)(x - q) = 0\]

Из этого уравнения следует, что сумма корней равна \(-10\) (коэффициент при \(x\)) и произведение корней равно \(-3\).

Также, у нас есть связь между корнями \(p\) и \(q\) и коэффициентами уравнения:

\[p + q = -10\] \[pq = -3\]

Теперь мы хотим составить уравнение, корни которого на два меньше, чем \(p\) и \(q\). Обозначим эти корни как \(m = p - 2\) и \(n = q - 2\).

Тогда новые корни \(m\) и \(n\) связаны с \(p\) и \(q\) следующим образом:

\[m = p - 2\] \[n = q - 2\]

Теперь выразим \(p\) и \(q\) через \(m\) и \(n\):

\[p = m + 2\] \[q = n + 2\]

Теперь подставим эти выражения для \(p\) и \(q\) в уравнение \(pq = -3\):

\[(m + 2)(n + 2) = -3\]

Упростим уравнение:

\[mn + 2m + 2n + 4 = -3\]

Теперь выразим \(mn\) через \(m\) и \(n\):

\[(m + 2)(n + 2) = -3 - 2m - 2n\]

Теперь у нас есть уравнение, корни которого \(m\) и \(n\), и они на два меньше, чем корни уравнения \(x^2 + 10x - 3 = 0\). Полученное уравнение:

\[x^2 + 2x - 5 = 0\]

Таким образом, квадратное уравнение, корни которого на два меньше, чем корни уравнения \(x^2 + 10x - 3 = 0\), равно \(x^2 + 2x - 5 = 0\).