Question

Дано вершини трикутника ABC: A(2; 4-6), B(4-3; 1), C(4; 4-1). Потрібно а) Написати рівняння сторони AC; б)написати рівняння медіани CM в)написати рівняння висоти BD і обчислити її довжину

Answer 1

Дано вершини трикутника ABC: A(2; -2), B(1; 1), C(4; 3).

Потрібно:

а) Написати рівняння сторони AC;

Находим вектор АС = (4-2; 3-(-2)) = (2; 5).

Получаем уравнение прямой АС по точке А(2; -2) и направляющему вектору АС(2; 5).

(x - 2)/2 = (y + 2)/5 это канонический вид уравнения или

5x - 2y - 14 = 0 оно же в общем виде.

б)написати рівняння медіани CM.

Находим координаты точки М как середины стороны АВ.

М =  (A(2; -2) + B(1; 1))/2 = (1,5; -0,5).

Находим вектор СМ.

СМ = (1,5-4; -0,5-3) = (-2,5; -3,5).

Уравнение медианы СМ по точке С(4; 3) и вектору СМ(-2,5; -3,5):

(x - 4)/(-2.5) = (y - 3)/(-3.5) или в целых числах:

(x - 4)/(-5) = (y - 3)/(-7) или 7x - 5y - 13 = 0.

в)написати рівняння висоти BD і обчислити її довжину.

В уравнении перпендикуляра коэффициенты общего уравнения Ax + By + C = 0 стороны АС:5x - 2y - 14 = 0 меняются -В и А (из условия, что их скалярное произведение равно 0).

BD: 2x + 5y + C = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки B(1; 1).

2*1 + 5*1 + С = 0, отсюда С = -2-5 = -7.

Получаем BD: 2x + 5y - 7 = 0.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання будемо використовувати формулу відстані між двома точками у просторі.

a) Рівняння сторони AC: Візьмемо точки A і C, та використаємо формулу відстані між двома точками:

\[ AC = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \]

\[ AC = \sqrt{(4 - 2)^2 + ((4 - 1) - (4 - 6))^2} \]

\[ AC = \sqrt{2^2 + 5^2} \]

\[ AC = \sqrt{4 + 25} \]

\[ AC = \sqrt{29} \]

Таким чином, рівняння сторони AC має вигляд:

\[ AC: \sqrt{(x - 2)^2 + (y - (4 - 6))^2} = \sqrt{29} \]

б) Рівняння медіани CM: Медіана CM - це відрізок, який з'єднує середину сторони AB з вершиною C. Знайдемо середину сторони AB:

\[ M\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \]

\[ M\left(\frac{2 + (4-3)}{2}, \frac{4 + 1}{2}\right) = M(1, 2.5) \]

Тепер скористаємося формулою для відрізка між точками:

\[ CM = \sqrt{(x_C - x_M)^2 + (y_C - y_M)^2} \]

\[ CM = \sqrt{(4 - 1)^2 + ((4 - 1) - 2.5)^2} \]

\[ CM = \sqrt{3^2 + 1.5^2} \]

\[ CM = \sqrt{9 + 2.25} \]

\[ CM = \sqrt{11.25} \]

Таким чином, рівняння медіани CM має вигляд:

\[ CM: \sqrt{(x - 1)^2 + (y - 2.5)^2} = \sqrt{11.25} \]

в) Рівняння висоти BD та обчислення її довжини: Висота BD - це відрізок, який проведений від вершини B до прямої, що містить сторону AC. Спочатку знайдемо рівняння прямої AC.

\[ AC: \sqrt{(x - 2)^2 + (y - (4 - 6))^2} = \sqrt{29} \]

Розкриємо квадрати:

\[ (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 29 \]

Тепер, для знаходження висоти BD, визначимо координати перетину прямої BD з прямою AC. Висота буде перпендикулярна AC, тобто її напрямок буде протилежний до напрямку AC.

Запишемо рівняння прямої BD:

\[ BD: y - y_B = \frac{y_C - y_B}{x_C - x_B}(x - x_B) \]

Підставимо значення точок B та C:

\[ BD: y - 1 = \frac{(4 - 1)}{(4 - (4-3))}(x - (4-3)) \]

\[ BD: y - 1 = \frac{3}{3}(x + 1) \]

\[ BD: y - 1 = x + 1 \]

\[ BD: y = x + 2 \]

Знаходимо точку перетину прямої BD з прямою AC, розв'язавши систему рівнянь:

\[ \begin{cases} (x - 2)^2 + (y + 2)^2 = 29 \\ y = x + 2 \end{cases} \]

Підставимо значення y з другого рівняння в перше:

\[ (x - 2)^2 + (x + 2 + 2)^2 = 29 \]

\[ (x - 2)^2 + (x + 4)^2 = 29 \]

\[ x^2 - 4x + 4 + x^2 + 8x + 16 = 29 \]

\[ 2x^2 + 4x - 9 = 0 \]

Розв'язуємо квадратне рівняння:

\[ x^2 + 2x - \frac{9}{2} = 0 \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 18}}{2} \]

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{22}}{2} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{\frac{22}{2}} \]

\[ x = -1 \pm \sqrt{11} \]

Таким чином, маємо дві точки перетину:

\[ D_1\left(-1 + \sqrt{11}, -1 + \sqrt{11} + 2\right) \]

\[ D_2\left(-1 - \sqrt{11}, -1 - \sqrt{11} + 2\right) \]

Тепер визначимо довжину відрізка BD за допомогою формули відстані між двома точками:

\[ BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} \]

\[ BD = \sqrt{\left(-1 \pm \sqrt{11} - (4-3)\right)^2 + \left(-1 \pm \sqrt{11} + 1\right)^2} \]

\[ BD = \sqrt{\left(-1 \pm \sqrt{11} - 1\right