Question

У задачі 50 задані координати вершин трикутника ABC A(-10, 10) B(14, 3) C(-4, 27) Знайти: а) довжину сторони BC б) рівняння сторони BC в) рівняння висоти, опущенної з вершини А на сторону BC г) рівняння медіани, проведенної з вершини В на сторону АС д) рівняння бісектриси внутрішнього кута В трикутника е) площу трикутника

Answer 1

Ответ:

а) Довжина сторони ВС:

ВС = √[(x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²]

= √[(-4 - 14)² + (27 - 3)²]

= √[(-18)² + (24)²]

= √[324 + 576]

= √900

= 30

б) Рівняння сторони ВС:

Використаємо точки B(14, 3) і C(-4, 27).

Рівняння прямої, проходящої через дві точки (x₁, y₁) і (x₂, y₂), можна знайти використовуючи формулу:

(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Підставляючи значення координат, отримуємо:

(y - 3)/(x - 14) = (27 - 3)/(-4 - 14)

(y - 3)/(x - 14) = 24/(-18)

(y - 3)/(x - 14) = -4/3

Отже, рівняння сторони ВС: (y - 3)/(x - 14) = -4/3.

в) Рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС:

Висота, опущена з вершини А на сторону ВС, буде перпендикулярна до сторони ВС і пройде через вершину А.

Використовуючи точки A(-10, 10) і C(-4, 27), можемо скласти рівняння прямої:

(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

(y - 10)/(x - (-10)) = (27 - 10)/(-4 - (-10))

(y - 10)/(x + 10) = 17/6

Отже, рівняння висоти, опущеної з вершини А на сторону ВС: (y - 10)/(x + 10) = 17/6.

г) Рівняння медіани, проведеної з вершини В на сторону АС:

Медіана, проведена з вершини В на сторону АС, є серединним перпендикуляром до сторони АС.

Використовуючи точки B(14, 3) і A(-10, 10), можемо скласти рівняння прямої:

(y - y₁)/(x - x₁) = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

(y - 3)/(x - 14) = (10 - 3)/(-10 - 14)

(y - 3)/(x - 14) = 7/(-24)

Отже, рівняння медіани, проведеної з вершини В на сторону АС: (y - 3)/(x - 14) = 7/(-24).

д) Рівняння бісектриси внутрішнього кута В трикутника:

Бісектриса внутрішнього кута В трикутника є прямою, яка ділить цей кут пополам і перпендикулярна до сторони ВС у точці B.

Рівняння бісектриси можна знайти, використовуючи формулу:

(y - y₁)/(x - x₁) = ±(y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)

Замість ± мається на увазі два рівняння - одне для

Answer 2

Давайте розглянемо кожну з цих підзадач по черзі:

а) Довжина сторони BC: Ми можемо використовувати відстань між двома точками формулою відстані між точками в просторі. Відстань між точками (x1, y1) і (x2, y2) обчислюється наступним чином:

Довжина BC = √((x2 - x1)² + (y2 - y1)²)

BC = √((14 - (-4))² + (3 - 27)²) BC = √(18² + (-24)²) BC = √(324 + 576) BC = √900 BC = 30

Отже, довжина сторони BC дорівнює 30 одиницям.

б) Рівняння сторони BC: Рівняння прямої, що проходить через дві точки (x1, y1) і (x2, y2), можна знайти, використовуючи формулу вигляду:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

В нашому випадку, (x1, y1) = (-4, 27) і (x2, y2) = (14, 3), тому маємо:

y - 27 = ((3 - 27) / (14 - (-4))) * (x - (-4))

y - 27 = (-24 / 18) * (x + 4)

y - 27 = (-4/3) * (x + 4)

Після спрощення:

3y - 81 = -4x - 16

4x + 3y = 65

Це рівняння сторони BC.

в) Рівняння висоти, опущеної з вершини A на сторону BC: Висота опущена з вершини A на сторону BC буде перпендикулярно стороні BC і проходитиме через точку A(-10, 10). Рівняння такої прямої можна знайти використовуючи формулу:

y - y1 = ((y2 - y1) / (x2 - x1)) * (x - x1)

У нашому випадку, (x1, y1) = (-10, 10) і (x2, y2) = (14, 3):

y - 10 = ((3 - 10) / (14 - (-10))) * (x - (-10))

y - 10 = (-7 / 24) * (x + 10)

Після спрощення:

7x + 24y = 170

Це рівняння висоти, опущеної з вершини A на сторону BC.

г) Рівняння медіани, проведеної з вершини B на сторону AC: Медіана - це відрізок, який з'єднує вершину трикутника з серединою протилежної сторони. В даному випадку, медіана буде з'єднувати вершину B(14, 3) з серединою сторони AC.

Середина сторони AC може бути знайдена як середнє арифметичне координат точок A і C:

Середина AC = ((-10, 10) + (-4, 27)) / 2 Середина AC = (-10 - 4) / 2, (10 + 27) / 2 Середина AC = (-7/2, 37/2)

Тепер, ми можемо використати рівняння прямої, яке проходить через точку B(14, 3) і середину сторони AC (-7/2, 37/2):

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-7/2 - 14)) * (x - 14)

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-7/2 - 28/2)) * (x - 14)

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-35/2)) * (x - 14)

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-35/2)) * (x - 14)

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-35/2)) * (x - 14)

y - 3 = ((37/2 - 3) / (-35/2)) * (x - 14)

Після спрощення:

7x + 10y = 65

Це рівняння медіани, проведеної з вершини B на сторону AC.

д) Рівняння бісектриси внутрішнього кута B: Бісектриса внутрішнього кута B розділяє сторину BC навпіл, і її рівняння може бути знайдено, використовуючи середнє значення координат точок B і середини сторони BC. Середина BC може бути знайдена так:

Середина BC = ((14, 3) + (-4, 27)) / 2 Середина BC = (10/2, 30/2) Середина BC = (5, 15)

Тепер, ми можемо використати рівняння прямої, яке проходить через точку B(14, 3) і середину сторони BC (5, 15):

y - 3 = ((15 - 3) / (5 - 14)) * (x - 14)

y - 3 = (12 / (-9)) * (x - 14)

y - 3 = (-4/3) * (x - 14)

Після спрощення:

4x + 3y = 39

Це рівняння бісектриси внутрішнього кута B.

е) Площа трикутника: Площа трикутника може бути обчислена за допомогою формули Герона, якщо відомі довжини всіх трьох сторін. Ми вже знайшли, що довжина сторони BC дорівнює 30 одиницям.

Для обчислення площі трикутника, нам потрібно знайти довжини інших двох сторін AB і AC. Використовуючи формулу відстані між точками:

Довжина AB = √((-10 - 14)² + (10 - 3)²) = √(24² + 7²) = √(576 + 49) = √625 = 25

Довжина AC = √((-10 - (-4))² + (10 - 27)²) = √(6² + 17²) = √(36 + 289) = √325

Зараз ми можемо використовувати формулу Герона для обчислення площі (S) трикутника:

S = √(p * (p - AB) * (p - AC) * (p - BC))

де p - половина периметру трикутника (p = (AB + AC + BC) / 2).

p = (25 + √325 + 30) / 2 = (25 + √325 + 30) / 2 = (55 + √325) / 2

S = √((55 + √325) * (55 - √325) * 5 * 25)

S = √((55² - 325) * 125)

S = √((3025 - 325) * 125)

S = √(2700 * 125)

S = √337500

S = 250√3

Отже, площа трикутника ABC дорівнює 250√3 квадратних одиниць.