Question

Відомі вершини трикутника A(1 ;1 ), B(5 ; 7), C( -2;3 ). Знайти довжину сторони АВ, рівняння сторони АВ, довжину медіани ВМ та її рівняння, величину кута ВАС, довжину висоти ВD та її рівняння, координати точки Р перетину медіан трикутника, площу трикутника АВС.​

Answer 1

Відомі вершини трикутника A(1; 1), B(5; 7), C(-2; 3).  

1) Знайти довжину сторони АВ.

Длина АВ = √(5-1)² + (7-1)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.

2) Рівняння сторони АВ.

Вектор АВ = ((5-1); (7-1)) = (4; 6).

Уравнение АВ: (x – 1)/4 = (y – 1)/6 каноническое.

                         6x – 4y – 2 = 0 общее, или, сократив на 2:

                         3x – 2y – 1 = 0.

3) Довжину медіани ВМ та її рівняння.

Точка М =  (A(1; 1 + C(-2; 3))/2 = (-0,5; 2).

Вектор ВМ = (-0,5-5; 2-7) = (-5,5; -5).

Длина ВМ =  √((-5,5)² + (-5)²) = √(30,25 + 25) = √55,25 ≈ 7,43303.

Уравнение BM: (x – 5)/(-5,5) = (y – 7)/(-5) каноническое.

                         -5x + 5,5y – 13,5 = 0 общее, или, умножив на -2:

                         10x - 11y + 27 = 0.

4) Величину кута ВАС.

Вектор АВ найден и равен (4; 6),  

его модуль = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.  

Находим вектор АС. Точки A(1; 1), C(-2; 3).

АС= ((-2-1); (3-1)) = (-3; 2), модуль = √((-3)² +2²) = √(9 + 4) = √13.

cos BAC = (4*(-3) + 6*2)/( 2√13*√13) = 0/52 = 0.

Угол ВАС равен arccos 0 = 90 градусов.

5) Довжину висоти ВD та її рівняння. Точка B(5; 7).

Уравнение высоты BD.

Она перпендикулярна стороне AС.

Вектор AС найден и равен (-3; 2).

Для прямой BD он будет нормальным вектором.

Уравнение BD: -3*(x - 5) + 2*(y - 7) = 0,

                          -3x + 15 + 2y - 14 = 0, умножим на -1:

                          3x - 2y - 1 = 0.

Длину BD находим по формуле высоты:

h = 2S/AC = 2*13/√13 = 2√13 ≈ 7,2111.

Величина площади найдена в пункте 7.

 

6) Координати точки Р перетину медіан трикутника.  

Они находятся как среднеарифметическое координат вершин треугольника.

Р = A(1; 1) + B(5; 7) + C(-2; 3))/3 = ((1+5-2)/3; (1+7+3)/3) = ((4/3); (11/3)).

7) Площу трикутника АВС.

Площадь треугольника можно вычислить по формуле определителя второго порядка:

S=±(1/2)∣x1−x3      y1−y3∣

          ∣x2−x3       y2−y3∣     Точки A(1; 1),  B(5; 7),  C(-2; 3).  

S = (1/2)|1 - (-2)         1 - 3|

             |5 - (-2)       7 – 3|  = (1/2)*(3*4 – (-2)*7) = 13.

Answer 2

Довжина сторони АВ може бути знайдена за формулою дистанції між двома точками: AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Підставляючи координати вершин A(1, 1) та B(5, 7), отримуємо: AB = √((5 - 1)^2 + (7 - 1)^2) = √(16 + 36) = √52 ≈ 7.2111 Таким чином, довжина сторони АВ ≈ 7.2111

Рівняння сторони АВ може бути знайдено використовуючи формулу для рівняння прямої: y = mx + b, де m - коефіцієнт наклона, b - зсув по осі ординат.

Для знаходження коефіцієнта наклона потрібно використати формулу: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Підставляючи координати вершин A(1, 1) та B(5, 7), отримуємо: m = (7 - 1) / (5 - 1) = 6 / 4 = 1.5

Підставляючи значенняm та одну з координат вершини у рівняння прямої, отримаємо: y = 1.5x + b 1 = 1.5(1) + b 1 = 1.5 + b b = -0.5

Таким чином, рівняння сторони АВ буде: y = 1.5x - 0.5

Щоб знайти довжину медіани ВМ, потрібно використовувати формулу: BM = (AC / 2), де AC - довжина сторони, яка не є основою трикутника.

Оскільки сторона BC є стороною трикутника, то можемо обчислити її довжину: BC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Підставляючи координати вершин B(5, 7) та C(-2, 3), отримуємо: BC = √((5 - (-2))^2 + (7 - 3)^2) = √(49 + 16) = √65 ≈ 8.0623

Тепер можемо знайти довжину медіани ВМ: BM = BC / 2 = 8.0623 / 2 = 4.0311

Таким чином, довжина медіани ВМ ≈ 4.0311

Рівняння медіани ВМ може бути знайдено за допомогою формули: y = mx + b (аналогічно до рівняння сторони АВ)

Для знаходження коефіцієнта наклона потрібно використати формулу: m = (y2 - y1) / (x2 - x1)

Підставляючи координати вершин B(5, 7) та M((1+ - 2) / 2, (1+ + 3) / 2) = (3/2, 7/2) , отримуємо: m = (7/2 - 1+ ) / (3/2 - 1+ ) = (7/2 - 1+ ) / (-1/2) = -(5/2) / (1/2) = -5

Підставляючи значення m та одну з координат вершини у рівняння прямої, отримуємо: y = -5x + b 1+ = -5(1+) + b 1+ = -5+x + b b = 6+

Таким чином, рівняння медіани ВМ буде: y = -5x + 6+

Величина кута ВАС може бути знайдена за допомогою формули косинусів: cos(C) = (a^2 + b^2 - c^2) / (2ab), де a, b, c - довжини сторін трикутника ABC, C - кут при вершині C.

Оскільки нам потрібно знайти кут ВАС, ми користуємося сторонами AB, BC та AC: AB = 7.2111 (знайдена раніше) BC = 8.0623 (знайдена раніше) AC = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) Підставляючи координати вершин A(1, 1) та C(-2, 3), отримуємо: AC = √((1 - (-2))^2 + (1 - 3)^2) = √(9 + 4) = √13 ≈ 3.6056

Підставляючи значення в формулу косинусів, отримуємо: cos(C) = (7.2111^2 + 8.0623^2 - 3.6056^2) / (2 * 7.2111 * 8.0623) cos(C) = (51.934 - 11.598 - 12.972) / 115.732 cos(C) = 27.364 / 115.732 ≈ 0.2366

Використовуючи таблицю косинусів, знаходимо значення кута C: C ≈ arccos(0.2366) ≈ 1.3288 радіан

Щоб перевести радіани у градуси, множимо отримане значення на 180 / π: C ≈ 1.3288 * (180 / π) ≈ 76.1449 градуса

Таким чином, величина кута ВАС ≈ 76.1449 градуса

Довжина висоти Вd може бути знайдена за формулою площі трикутника: Ad = (2 * S) / AB, де S - площа трикутника, AB - довжина сторони трикутника, на якій проводиться висота.

Площа трикутника може бути знайдена за формулою площі Герона: S = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC)), де p - півпериметр трикутника.

Півпериметр трикутника може бути знайдений як сума довжин усіх сторін, розділену на 2: p = (AB + BC + AC) / 2 = (7.2111 + 8.0623 + 3.6056) / 2 ≈ 9.9395

Підставляючи значення p, AB, BC та AC у формулу площі трикутника, отримуємо: S = √(9.9395 * (9.9395 - 7.2111) * (9.9395 - 8.0623