Question

Дано, что |a¯¯¯|=4,∣∣b¯¯∣∣=1, угол между векторами a¯¯¯ и b¯¯ равен 60∘. Найдите квадрат длины вектора −a¯¯¯−2b¯¯. В ответ введите полученное число.

Answer 1

|a| = 4, |b| = 1, ∠ab = 60°

(|-a - 2b|)^2 = ?

По свойству модуля, |a| = |-a|, поэтому

|-a - 2b| = |a + 2b|.

Построим треугольник со сторонами a и 2b. Тогда третья сторона будет равна |a + 2b|, а угол напротив нее 180-60 = 120°.

По т.косинусов:

(|a + 2b|)² = |a|² + |2b|² - 2*|a|*|2b|*cos∠a2b

(|a + 2b|)² = 16 + 4 - 2 * 4 * 2 * -1/2 = 28

Ответ: 28

Answer 2

Чтобы найти квадрат длины вектора −a¯¯¯−2b¯¯, нам нужно сначала найти этот вектор.

Из условия дано, что |a¯¯¯| = 4 и ∣∣b¯¯∣∣ = 1. Здесь |a¯¯¯| обозначает длину вектора a¯¯¯, а ∣∣b¯¯∣∣ обозначает длину вектора b¯¯.

У нас также имеется информация об угле между векторами a¯¯¯ и b¯¯, который равен 60∘.

Мы знаем, что для нахождения длины вектора a¯¯¯, можем использовать формулу:

|a¯¯¯| = sqrt(a₁² + a₂²), где a₁ и a₂ - координаты вектора a¯¯¯.

Таким образом, можем записать:

√(a₁² + a₂²) = 4.

Аналогично, для вектора b¯¯:

√(b₁² + b₂²) = 1.

Далее, нам нужно использовать информацию об угле между векторами a¯¯¯ и b¯¯.

Мы знаем, что cos(60∘) = (a¯¯¯ · b¯¯) / (|a¯¯¯| · ∣∣b¯¯∣∣), где (a¯¯¯ · b¯¯) обозначает скалярное произведение векторов a¯¯¯ и b¯¯.

Можем переписать это уравнение:

1/2 = (a¯¯¯ · b¯¯) / (4 · 1).

Упростим его:

2(a¯¯¯ · b¯¯) = 4.

Теперь у нас есть система уравнений:

√(a₁² + a₂²) = 4, √(b₁² + b₂²) = 1, 2(a₁b₁ + a₂b₂) = 4.

Мы можем решить эту систему численно, подобрав значения для a₁, a₂, b₁ и b₂, удовлетворяющие всем трем уравнениям. Однако, такой подход требует много времени и расчетов.

Более эффективным способом является геометрическое рассуждение.

Из уравнения 2(a₁b₁ + a₂b₂) = 4 видно, что (a₁b₁ + a₂b₂) = 2.

Мы также знаем, что cos(60∘) = (a¯¯¯ · b¯¯) / (|a¯¯¯| · ∣∣b¯¯∣∣), поэтому (a¯¯¯ · b¯¯) = (|a¯¯¯| · ∣∣b¯¯∣∣) · cos(60∘).

Подставим известные значения и решим это уравнение:

2 = (4 · 1) · cos(60∘).

2 = 4/2.

Упрощаем:

2 = 2.

Таким образом, уравнение 2(a₁b₁ + a₂b₂) = 4 выполняется для любых значений a₁, a₂, b₁ и b₂, удовлетворяющих условиям предоставленной информации.

Это означает, что квадрат длины вектора −a¯¯¯−2b¯¯ равен 4.