Question

241. Решите уравнение: а) (x-1)(х – 7) = 0: 6) (x + 2)(x - 9) = 0; в) (х – 11)(х - 6) = 0: г(х 1) (x + 1)(3-1)(x - 5) = 0; x д) х(х - 3)(х + 3) = 0: е) (x — 4)(х – 9)(х - 13) = 0.​

Answer 1

Можно решить обеими же способами

Answer 2

Конечно, давайте решим каждое уравнение:

а) \((x-1)(x+7) = 0\)

Решение: Раскроем скобки и приравняем к нулю:

\[ x^2 + 7x - x - 7 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 + 6x - 7 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Можно воспользоваться формулой квадратного корня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где у нас \(a = 1\), \(b = 6\), \(c = -7\). Подставим значения:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 28}}{2} \]

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{64}}{2} \]

\[ x = \frac{-6 \pm 8}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_1 = 1, \quad x_2 = -7 \]

б) \((x+2)(x-9) = 0\)

Решение: Раскроем скобки и приравняем к нулю:

\[ x^2 - 9x + 2x - 18 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - 7x - 18 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-(-7) \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18)}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 72}}{2} \]

\[ x = \frac{7 \pm \sqrt{121}}{2} \]

\[ x = \frac{7 \pm 11}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_3 = 9, \quad x_4 = -2 \]

в) \((x-11)(x-6) = 0\)

Решение: Раскроем скобки и приравняем к нулю:

\[ x^2 - 6x - 11x + 66 = 0 \]

Упростим:

\[ x^2 - 17x + 66 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-(-17) \pm \sqrt{(-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{289 - 264}}{2} \]

\[ x = \frac{17 \pm \sqrt{25}}{2} \]

\[ x = \frac{17 \pm 5}{2} \]

Таким образом, получаем два значения:

\[ x_5 = 11, \quad x_6 = 6 \]

г) \(\frac{x+1}{x+5} = 0\)

Решение: Уравнение равно нулю только тогда, когда числитель равен нулю:

\[ x + 1 = 0 \]

Отсюда получаем:

\[ x = -1 \]

д) \(x(x-3)(x+3) = 0\)

Решение: Раскроем скобки и приравняем к нулю:

\[ x^3 - 3x^2 + 3x = 0 \]

Теперь можно выделить общий множитель x:

\[ x(x^2 - 3x + 3) = 0 \]

Уравнение будет равно нулю, если либо \(x = 0\), либо выражение в скобках равно нулю:

\[ x^2 - 3x + 3 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение:

\[ x = \frac{-(-3) \pm \sqrt{(-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} \]

\[ x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2} \]

У нас в знаменателе отрицательное число под корнем, поэтому корней нет в области действительных чисел.

Таким образом, уравнение имеет единственное решение:

\[ x_7 = 0 \]

е) \((x-4)(x-9)(x-13) = 0\)

Решение: Раскроем скобки и приравняем к нулю:

\[ x^3 - 26x^2 + 229x - 468 = 0 \]

Теперь решим кубическое уравнение. Для этого можно воспользоваться различными методами, например, методом Кардано. Однако, для краткости ответа, укажем корни:

\[ x_8 = 4, \quad x_9 = 9, \quad x_{10} = 13 \]

Итак, получили все корни указанных уравнений.