Question

7. Знайти площу фігури, обмеженої кубічною параболою y = x³ i прямими у=х, y=2x. ​

Answer 1

Щоб знайти площу фігури, обмеженої кубічною параболою y = x³ та прямими y = 2x та y = x, спочатку знайдемо точки перетину цих прямих та параболи:

З рівняння прямої y = 2x знаходимо x: 2x = x³ x³ - 2x = 0 x(x² - 2) = 0

Тут ми маємо два значення x: x = 0 та x² - 2 = 0. З останнього рівняння знаходимо значення x²: x² = 2 x = ±√2

Таким чином, точки перетину параболи з прямою y = 2x є (±√2, 2).

З рівняння прямої y = x знаходимо x: x = x³ x³ - x = 0 x(x² - 1) = 0

Тут ми маємо три значення x: x = 0, x = 1 та x = -1.

Таким чином, точки перетину параболи з прямою y = x є (0, 0), (1, 1) та (-1, -1).

Тепер знаходимо площу під кривою y = x³ і обмежену прямими y = 2x та y = x.

Для знаходження площі фігури можна використати властивість визначення площі між функціями:

Площа під кривою y = f(x) на відрізку [a, b] та над кривою y = g(x) на цьому самому відрізку може бути знайдена за допомогою інтегралу у вигляді:

S = ∫[a,b] (f(x) - g(x)) dx

У нашому випадку, функція f(x) = x³, а функції g(x) - прямі y = 2x та y = x.

Прямі y = 2x та y = x перетинаються в точці (0, 0), тому область, яку ми обчислюємо, знаходиться між цими точками.

Тепер знаходимо площу під параболою та над першою прямою за допомогою інтегралу:

S₁ = ∫[0, √2] (x³ - 2x) dx

Розкриваємо інтеграл та обчислюємо:

S₁ = [1/4 * x^4 - x²] от 0 до √2 S₁ = 1/4 * (√2)⁴ - (√2)² - (0 - 0) S₁ = 1/4 * 2² - 2 S₁ = 1 - 2 S₁ = -1

Отже, площа під параболою та над першою прямою є -1.

Аналогічно, знаходимо площу під параболою та над другою прямою:

S₂ = ∫[√2, 1] (x³ - x) dx

Розкриваємо інтеграл та обчислюємо:

S₂ = [1/4 * x^4 - 1/2 * x²] от √2 до 1 S₂ = 1/4 * 1^4 - 1/2 * 1² - (1/4 * (√2)⁴ - 1/2 * (√2)²) S₂ = 1/4 - 1/2 - (1/4 * 2² - 1/2 * 2) S₂ = 1/4 - 1/2 - (1/4 * 4 - 2/2) S₂ = 1/4 - 1/2 - (1 - 1) S₂ = -1/4

Отже, площа під параболою та над другою прямою є -1/4.

Відповідь: Площа фігури, обмеженої кубічною параболою y = x³ та прямими y = 2x та y = x, є -1 для площі під параболою та над першою прямою, та -1/4 для площі під параболою та над другою прямою.