Question

1. Дані вектори а(3;0;7), в (1;2;0) Знайти а) а+в. б)2а в) 2а-3в 2. Знайти скалярний добуток векторів АВ і АС, якщо а(2;0;-1) В) (1;3;0). С) (0;-1;2) 3. Чи перпендикулярні вектори а(3;-2;1,5) і в (-7;0;14)

Answer 1

1. Знаходження векторів: а) Додавання векторів a і в: \[ \mathbf{a} + \mathbf{v} = (3; 0; 7) + (1; 2; 0) = (3+1; 0+2; 7+0) = (4; 2; 7) \]

б) Додавання 2а і -3v: \[ 2\mathbf{a} + (-3)\mathbf{v} = 2(3; 0; 7) + (-3)(1; 2; 0) = (6; 0; 14) + (-3; -6; 0) = (6-3; 0-6; 14+0) = (3; -6; 14) \]

2. Скалярний добуток векторів: Вектори \( \mathbf{AB} \) і \( \mathbf{AC} \) задані як \( \mathbf{A} = (2; 0; -1) \), \( \mathbf{B} = (1; 3; 0) \) і \( \mathbf{C} = (0; -1; 2) \).

Скалярний добуток визначається формулою: \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (x_B - x_A)(x_C - x_A) + (y_B - y_A)(y_C - y_A) + (z_B - z_A)(z_C - z_A) \] Підставимо значення: \[ \mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC} = (1-2)(0-2) + (3-0)(-1-0) + (0-(-1))(2-(-1)) \] \[ = (-1)(-2) + (3)(-1) + (1)(3) = 2 - 3 + 3 = 2 \]

3. Перпендикулярність векторів: Вектори перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. Перевіримо для векторів \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{v} \): \[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{v} = (3;-2;1.5) \cdot (-7;0;14) = (3 \cdot -7) + (-2 \cdot 0) + (1.5 \cdot 14) = -21 + 0 + 21 = 0 \] Скалярний добуток дорівнює нулю, тому вектори \( \mathbf{a} \) і \( \mathbf{v} \) є перпендикулярними.