Question

Дано координати тогок А(6,1, 1), А2(4,6,6), А3(4,2.0), А4(1, 2.6). Скласти: 1) рівняння площини АА2 Аз; 2) рівняння висоти, що проходить через т. Ат до ДАгА3

Answer 1

Для складання рівняння площини АА2 Аз, спочатку знайдемо вектори АА2 і Аз.

Вектор АА2:
АА2 = (4-6, 6-1, 6-1) = (-2, 5, 5)

Вектор Аз:
Аз = (4-6, 2-1, 0-1) = (-2, 1, -1)

За допомогою цих векторів можемо скласти рівняння площини у вигляді Ax + By + Cz + D = 0, де A, B, C - координати вектора нормалі площини.

Вектор нормалі площини можна отримати закріпивши АА2 на точку Аз і після цього знаходячи векторний добуток:

Вектор нормалі площини:
Н = АА2 × Аз

Векторний добуток АА2 × Аз:
Н = (-2, 5, 5) × (-2, 1, -1) = (-14, -8, -8)

Тепер, знаючи вектор нормалі площини, можемо записати рівняння площини:

-14x - 8y - 8z + D = 0

Для знаходження D підставимо координати точки А (6, 1, 1) у рівняння площини:

-14(6) - 8(1) - 8(1) + D = 0
-84 - 8 - 8 + D = 0
-100 + D = 0
D = 100

Таким чином, рівняння площини АА2Аз буде:

-14x - 8y - 8z + 100 = 0

Тепер складемо рівняння висоти, що проходить через точку Ат до точки ДАгАз.

Висота - це пряма, що перпендикулярна до площини АА2Аз. Таким чином, ми можемо взяти вектор нормалі площини як вектор напряму висоти.

Рівняння висоти буде у вигляді: н*х + в*у + м*з + D = 0.

n = -14
в = -8
м = -8

Таким чином, рівняння висоти буде:

-14x - 8y - 8z + D = 0

Знову підставимо координати точки Ат (1, 2.6, 0) у рівняння висоти:

-14(1) - 8(2.6) - 8(0) + D = 0
-14 - 20.8 + D = 0
D = 34.8

Отже, рівняння висоти, що проходить через точку Ат до точки ДАгАз, буде:

-14x - 8y - 8z + 34.8 = 0

Answer 2

Для того чтобы скласти рівняння площини, що проходить через точки А, А2 і Аз, необхідно використати формулу рівняння площини, яка має вигляд:

Ax(x - x1) + By(y - y1) + Cz(z - z1) = 0,

де (x1, y1, z1) - координати однієї з точок площини, а A, B і C - коефіцієнти, які визначаються за допомогою векторного добутку векторів, що лежать на площині.

Крок 1: Знаходження векторів, що лежать на площині

Для того, щоб знайти вектори, що лежать на площині, можна використати дві точки, які належать площині. В даному випадку, ми можемо взяти вектори АА2 і АзА2.

Вектор АА2: (4-6, 6-1, 6-1) = (-2, 5, 5) Вектор АзА2: (4-6, 2-1, 0-1) = (-2, 1, -1)

Крок 2: Знаходження коефіцієнтів A, B і C

Коефіцієнти A, B і C можна знайти за допомогою векторного добутку векторів, що лежать на площині.

A = (5 * -1) - (5 * 1) = -10 B = (-2 * -1) - (5 * -2) = -4 C = (-2 * 1) - (5 * -2) = 12

Крок 3: Запис рівняння площини

Після знаходження коефіцієнтів A, B і C, можна записати рівняння площини, підставивши значення у формулу:

-10(x - 6) - 4(y - 1) + 12(z - 1) = 0

Рівняння площини АА2Аз:

-10x + 60 - 4y + 4 + 12z - 12 = 0

-10x - 4y + 12z + 52 = 0

Таким чином, рівняння площини АА2Аз має вигляд -10x - 4y + 12z + 52 = 0.

Рівняння висоти через точку Ат до ДАгА3:

Для того, щоб скласти рівняння висоти, необхідно використати точку Ат і вектор, який перпендикулярний площині ААгА3.

Вектор АгА3: (4-6, 2-1, 0-1) = (-2, 1, -1)

Крок 1: Знаходження вектора, перпендикулярного площині

Вектор, перпендикулярний площині, можна знайти за допомогою векторного добутку векторів, що лежать на площині. У даному випадку, вектор АгА3 є вектором перпендикулярним площині.

Крок 2: Запис рівняння висоти

Після знаходження вектора, перпендикулярного площині, можна записати рівняння висоти, підставивши значення у формулу:

(-2)(x - 6) + (1)(y - 1) + (-1)(z - 1) = 0

-2x + 12 + y - 1 - z + 1 = 0

-2x + y - z + 12 = 0

Таким чином, рівняння висоти через точку Ат до ДАгА3 має вигляд -2x + y - z + 12 = 0.