Question

Дано координати точок А і В та рівняння площини знайти а) записати рівняння прямої яка проходить через точки А і В б) визначити координати точки перетину прямої АВ із площиною в) записати рівняння примої яка проходить через точку А перпендикулярно до площини A (1; -5; 0) i B (3, 2; -4), 2x-y+2z-3=0;​

Answer 1

Дано координати точок A (1; -5; 0) i B (3, 2; -4),  та рівняння площини

2x-y+2z-3=0.

Знайти:

а) записати рівняння прямої яка проходить через точки А і В.

Вектор АВ = (3-1; 2-(-5); -4-0) = (2; 7; -4).

Уравнение прямой АВ: (x - 1)/2 = (y + 5)/7 = z/(-4).

б) визначити координати точки перетину прямої АВ із площиною.

Уравнение прямой АВ: (x - 1)/2 = (y + 5)/7 = z/(-4) представим в параметрическом виде:

АВ: (x - 1)/2 = (y + 5)/7 = z/(-4) = t.

x = 2t + 1,

y = 7t - 5,

z= -4t.

Подставим эти значения переменных в уравнение плоскости.

2(2t + 1) -1*(7t - 5) + 2*(-4t) - 3 = 0.

4t + 2 - 7t + 5 - 8t - 3 = 0

-11t = -4,   t = -4/11.

Теперь можно определить координаты точки пересечения прямой АВ с заданной плоскостью, подставив значение t в параметрические координаты переменных.

x = 2*(4/11) + 1 = 19/11,

y = 7*(4/11) - 5 = -27/11,

z= -4*(4/11) = -16/11.

в) записати рівняння примої яка проходить через точку А перпендикулярно до площини.

В уравнении плоскости 2x-y+2z-3=0 коэффициенты при переменных - это координаты нормального вектора n = (2; -1; 2).

Для перпендикуляра это будет направляющий вектор.

Уравнение перпендикуляра из точки А на заданную плоскость:

(x - 1)/2 = (y + 5)/(-1) = z/2.

Answer 2

Для вирішення цієї задачі ми будемо використовувати різні математичні поняття та формули. Давайте розглянемо кожну частину задачі по черзі.

Дано: Точка A(1, -5, 0) Точка B(3, 2, -4) Рівняння площини: 2x - y + 2z - 3 = 0

а) Записати рівняння прямої, що проходить через точки A і B:

Вектор напрямку прямої можна знайти, віднімаючи координати точки A від координат точки B:

Вектор напрямку AB = B - A = (3 - 1, 2 - (-5), -4 - 0) = (2, 7, -4)

Тепер, ми можемо використовувати параметричну формулу прямої:

x = x₀ + at y = y₀ + bt z = z₀ + ct

де (x₀, y₀, z₀) - точка, через яку проходить пряма, (a, b, c) - вектор напрямку прямої, t - параметр.

Підставляючи координати точки A і вектор напрямку AB, ми отримаємо параметричне рівняння прямої:

x = 1 + 2t y = -5 + 7t z = 0 - 4t

б) Визначити координати точки перетину прямої AB із площиною:

Для знаходження точки перетину прямої з площиною, ми підставимо параметричне рівняння прямої в рівняння площини і знайдемо значення параметра t:

2x - y + 2z - 3 = 0 2(1 + 2t) - (-5 + 7t) + 2(0 - 4t) - 3 = 0

Розв'язуючи це рівняння для t, ми знайдемо значення t. Підставляючи це значення t назад у параметричне рівняння прямої, ми отримаємо координати точки перетину.

в) Записати рівняння прямої, що проходить через точку А і перпендикулярно до площини:

Перпендикулярний вектор до площини визначається коефіцієнтами при x, y, z в рівнянні площини. У даному випадку, цей вектор буде (2, -1, 2).

Щоб знайти рівняння прямої, що проходить через точку A(1, -5, 0) і має вектор напрямку (2, -1, 2), ми можемо використовувати параметричну формулу прямої, як у пункті а).

x = 1 + 2t y = -5 - t z = 0 + 2t

Це і є рівняння шуканої прямої.

Зведенням всіх результатів, ви отримаєте відповідь на кожну частину задачі.