Question

Дані чотири точки А1, А2, А3, А4. Знайти: рівняння площини А1 A2 А3; рівняння прямої А2A3; рівняння прямої А4М, перпендикулярної до площини А1 A2 A3; рівняння прямої A4N, паралельної до прямої А2А3. A1(1; 0; -2) A2(3; 2; 2) A3(1; 3; -1) A4(6; 5; -3)

Answer 1

Для вирішення цієї задачі нам знадобиться використовувати векторну алгебру та векторні операції. Спочатку знайдемо рівняння площини, пройдемо через точки A1, A2 та A3.

Рівняння площини A1A2A3:

Спершу знайдемо два вектори, які лежать в площині A1A2A3. Використаємо векторну арифметику для цього.

Вектор A1A2: (3 - 1, 2 - 0, 2 - (-2)) = (2, 2, 4)

Вектор A1A3: (1 - 1, 3 - 0, -1 - (-2)) = (0, 3, 1)

Тепер знайдемо нормаль до площини, обчисливши її векторний добуток:

n = (2, 2, 4) × (0, 3, 1)

n = (8, -8, 6)

Тепер, ми можемо скористатися цією нормаллю і однією з точок (скажімо, A1), щоб записати рівняння площини в загальному вигляді:

8x - 8y + 6z + d = 0

Для знаходження d, підставимо координати точки A1 в рівняння:

8(1) - 8(0) + 6(-2) + d = 0

8 - 12 - 16 + d = 0

-20 + d = 0

d = 20

Отже, рівняння площини A1A2A3:

8x - 8y + 6z + 20 = 0

Рівняння прямої A2A3:

Для знаходження рівняння прямої A2A3 використовуємо параметричне рівняння прямої:

x = 3t + 1

y = 2t

z = 2t - 2

Рівняння прямої A4M, перпендикулярної до площини A1A2A3:

Ця пряма буде перпендикулярною до нормалі площини A1A2A3. Отже, вектор цієї прямої буде співпадати з вектором нормалі, тобто (8, -8, 6). Використовуючи точку A4(6, 5, -3) як початок, ми можемо записати параметричне рівняння прямої:

x = 6 + 8t

y = 5 - 8t

z = -3 + 6t

Рівняння прямої A4N, паралельної до прямої A2A3:

Ця пряма буде паралельною до прямої A2A3, тобто буде мати ті ж самі параметричні рівняння:

x = 3t + 1

y = 2t

z = 2t - 2

Answer 2

Для розв'язання цього завдання, ми спочатку визначимо вектори, які проходять через вказані точки. За допомогою цих векторів, ми зможемо знайти рівняння площини, прямої та їх взаємне розташування.

Визначення векторів

Для початку, визначимо вектори, які проходять через вказані точки. Вектор можна представити як різницю координат двох точок. Отже:

Вектор А1А2: (3-1, 2-0, 2-(-2)) = (2, 2, 4) Вектор А1А3: (1-1, 3-0, -1-(-2)) = (0, 3, 1) Вектор А2А3: (1-3, 3-2, -1-2) = (-2, 1, -3) Вектор А4М: (6-1, 5-0, -3-(-2)) = (5, 5, -1)

Рівняння площини А1А2А3

Рівняння площини можна записати у вигляді Ax + By + Cz + D = 0, де (A, B, C) - нормальний вектор до площини, а D - відстань від початку координат до площини.

Для того, щоб знайти нормальний вектор до площини А1А2А3, ми можемо використати векторний добуток векторів А1А2 і А1А3. Нормальний вектор буде перпендикулярний до обох векторів.

Нормальний вектор: (2, 2, 4) × (0, 3, 1) = (8, -4, 6)

Тепер, ми можемо записати рівняння площини А1А2А3:

8x - 4y + 6z + D = 0

Для того, щоб знайти D, підставимо координати однієї з точок, наприклад, А1(1, 0, -2), у рівняння площини:

8(1) - 4(0) + 6(-2) + D = 0 8 - 12 - 12 + D = 0 D = 16

Таким чином, рівняння площини А1А2А3 є: 8x - 4y + 6z + 16 = 0

Рівняння прямої А2А3

Рівняння прямої можна записати у параметричному вигляді: x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct, де (x0, y0, z0) - координати однієї з точок прямої, (a, b, c) - напрямний вектор прямої, t - параметр.

У нашому випадку, можемо вибрати точку А2(3, 2, 2) як початкову точку прямої. Напрямний вектор прямої А2А3 вже визначений як (-2, 1, -3).

Таким чином, рівняння прямої А2А3 буде: x = 3 - 2t y = 2 + t z = 2 - 3t

Рівняння прямої А4М, перпендикулярної до площини А1А2А3

Для знаходження рівняння прямої А4М, перпендикулярної до площини А1А2А3, ми можемо використати нормальний вектор площини як напрямний вектор прямої.

Таким чином, рівняння прямої А4М буде: x = 6 + 8t y = 5 - 4t z = -3 + 6t

Рівняння прямої A4N, паралельної до прямої А2А3

Оскільки пряма A4N паралельна до прямої А2А3, то вектор, що проходить через точки А4 і N, буде має такий самий напрямний вектор, як А2А3.

Ми вже визначили напрямний вектор А2А3 як (-2, 1, -3). Таким чином, рівняння прямої A4N буде: x = 6 - 2t y = 5 + t z = -3 - 3t

Використовуючи ці рівняння, ви можете знайти координати точок на прямих та площині, якщо це необхідно.