Question

Записать уравнения прямой и плоскости ИЛИ уравнения двух прямых в трехмерном пространстве и выяснить их взаимное расположение. В случае, если они пересекаются найти косинус угла. Иначе найти расстояние между ними. L1: x+y+z=0 и x-4y+3z+1=0 L2: x=7t-4 y=-2t+2 z=-5t+1

Answer 1

Відповідь:Для начала найдем точку пересечения прямой l2 с плоскостью l1. Подставим значения x, y и z из уравнения прямой l2 в уравнение плоскости l1:

(7t-4) + (-2t+2) + (-5t+1) = 0

Сократим выражение:

-4t - 1 = 0

t = -1/4

Теперь найдем координаты точки пересечения:

x = 7(-1/4)-4 = -1/4

y = -2(-1/4)+2 = 2.5

z = -5(-1/4)+1 = 1.75

Таким образом, точка пересечения прямой l2 с плоскостью l1 равна (-1/4, 2.5, 1.75).

Теперь вычислим косинус угла между прямой l1 и l2. Для этого найдем векторы направления прямых.

Вектор направления прямой l1 можно найти, взяв коэффициенты при переменных в уравнении прямой:

v1 = (1, -4, 3)

Вектор направления прямой l2 можно найти, взяв коэффициенты при параметрах t в уравнении прямой:

v2 = (7, -2, -5)

Теперь найдем косинус угла между векторами v1 и v2, используя их скалярное произведение:

cosθ = (v1 · v2) / (|v1| * |v2|)

где (v1 · v2) обозначает скалярное произведение векторов, а |v1| и |v2| - их длины.

(v1 · v2) = 1*7 + (-4)*(-2) + 3*(-5) = 7 + 8 - 15 = 0

|v1| = √(1^2 + (-4)^2 + 3^2) = √(1 + 16 + 9) = √26

|v2| = √(7^2 + (-2)^2 + (-5)^2) = √(49 + 4 + 25) = √78

cosθ = 0 / (√26 * √78) = 0

Таким образом, угол между прямой l1 и l2 равен 90 градусов, то есть прямые перпендикулярны друг другу.

Если прямые не пересекаются, то для нахождения расстояния между ними можно использовать формулу:

d = |(P0-P1) · n| / |n|

где P0 и P1 - произвольные точки на каждой из прямых, n - вектор, перпендикулярный обеим прямым.

Пусть P0 = (x0, y0, z0) - точка с параметром t = 0 на l2, P1 = (x1, y1, z1) - точка на l1, n - вектор, перпендикулярный прямым l1 и l2 и направленный из P0 в P1. Так как l1 и l2 перпендикулярны, их пересечение можно считать точкой P0 на l2. То есть P0 = (-1/4, 2.5, 1.75).

P1 в данном случае можно взять как точку пересечения l1 и l2.

Тогда n = P0 - P1.

P1 = (x1, y1, z1), P0 = (-1/4, 2.5, 1.75)

n = (-1/4-x1, 2.5-y1, 1.75-z1)

Теперь можно вычислить расстояние между прямыми:

d = |(-1/4-x1, 2.5-y1, 1.75-z1) · n| / |n|

Таким образом, чтобы найти расстояние между прямыми, нужны значения x1, y1 и z1.

Answer 2

Для выяснения взаимного расположения прямых в трехмерном пространстве, нужно рассмотреть уравнения прямых и воспользоваться несколькими методами. Давайте начнем с записи уравнений прямых и выясним их взаимное расположение.

Уравнение прямой L1:

\[ L1: \begin{cases} x + y + z = 0 \\ x - 4y + 3z + 1 = 0 \end{cases} \]

Уравнение прямой L2:

\[ L2: \begin{cases} x = 7t - 4 \\ y = -2t + 2 \\ z = -5t + 1 \end{cases} \]

Теперь давайте решим систему уравнений прямых. Подставим уравнение прямой L2 в уравнение прямой L1:

\[ (7t - 4) + (-2t + 2) + (-5t + 1) = 0 \]

Упростим это уравнение:

\[ 7t - 2t - 5t - 4 + 2 + 1 = 0 \]

\[ 0 = 0 \]

Это уравнение всегда верно, что означает, что прямые L1 и L2 пересекаются.

Теперь найдем косинус угла между прямыми. Для этого воспользуемся формулой для косинуса угла между векторами:

\[ \cos(\theta) = \frac{\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}}{\|\vec{v_1}\| \cdot \|\vec{v_2}\|} \]

где \(\vec{v_1}\) и \(\vec{v_2}\) - векторы направления прямых.

Вектор направления прямой L1 можно взять из коэффициентов при переменных в уравнении:

\[ \vec{v_1} = \langle 1, 1, 1 \rangle \]

А для L2:

\[ \vec{v_2} = \langle 7, -2, -5 \rangle \]

Теперь подставим значения в формулу:

\[ \cos(\theta) = \frac{\langle 1, 1, 1 \rangle \cdot \langle 7, -2, -5 \rangle}{\sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} \cdot \sqrt{7^2 + (-2)^2 + (-5)^2}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{0 - 2 - 5}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{74}} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-7}{\sqrt{222}} \]

Теперь мы знаем косинус угла между прямыми. Если нужно, вы можете вычислить значение угла, используя обратную функцию косинуса.

Если у вас есть другие вопросы или если нужны дополнительные пояснения, дайте знать!