Question

Найдите сумму кубов корней данного квадратного уравнения. х^2 - 4х - 1 = 0 1)52 2)76 3)64 4)50

Answer 1

Квадратное уравнение дано в виде:

\[x^2 - 4x - 1 = 0.\]

Для нахождения корней этого уравнения используем формулу для квадратных уравнений:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a},\]

где \(a\), \(b\), и \(c\) - это коэффициенты уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\).

В данном случае:

\[a = 1, \quad b = -4, \quad c = -1.\]

Подставим эти значения в формулу:

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1)}}{2 \cdot 1}.\]

Выполним вычисления:

\[x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{20}}{2}.\]

Теперь найдем корни:

\[x_1 = \frac{4 + \sqrt{20}}{2} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{4 - \sqrt{20}}{2}.\]

Упростим выражения:

\[x_1 = \frac{4 + 2\sqrt{5}}{2} = 2 + \sqrt{5},\]

\[x_2 = \frac{4 - 2\sqrt{5}}{2} = 2 - \sqrt{5}.\]

Теперь найдем кубы корней и сложим их:

\[ (2 + \sqrt{5})^3 + (2 - \sqrt{5})^3.\]

Для удобства вычислений воспользуемся формулой суммы кубов:

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2).\]

Таким образом,

\[(2 + \sqrt{5})^3 + (2 - \sqrt{5})^3 = (2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5})((2 + \sqrt{5})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})^2).\]

Сократим слагаемые:

\[= 4((2 + \sqrt{5})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})^2).\]

Выполним вычисления:

\[= 4((2^2 + 2\sqrt{5} + 5) - (4 - 5) + (2^2 - 2\sqrt{5} + 5)).\]

Упростим выражение:

\[= 4(14) = 56.\]

Таким образом, сумма кубов корней данного квадратного уравнения равна 56. Ответ: 4) 56.

Answer 2

Для нахождения суммы кубов корней квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), где у нас \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -1\), нужно найти корни уравнения и сложить кубы этих корней.

Квадратное уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имеет корни, которые можно найти с использованием формулы:

\[x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Для нашего уравнения:

\[a = 1, \quad b = -4, \quad c = -1\]

Вычислим дискриминант:

\[D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 16 + 4 = 20\]

Теперь найдем корни:

\[x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm 2\sqrt{5}}{2} = 2 \pm \sqrt{5}\]

Таким образом, у нас есть два корня: \(x_1 = 2 + \sqrt{5}\) и \(x_2 = 2 - \sqrt{5}\).

Теперь найдем сумму кубов корней:

\[S = (2 + \sqrt{5})^3 + (2 - \sqrt{5})^3\]

Используем формулу для суммы кубов двух чисел:

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

Тогда:

\[S = (2 + \sqrt{5} + 2 - \sqrt{5})((2 + \sqrt{5})^2 - (2 + \sqrt{5})(2 - \sqrt{5}) + (2 - \sqrt{5})^2)\]

Упрощаем выражение:

\[S = 4((2 + \sqrt{5})^2 - (2^2 - 5) + (2 - \sqrt{5})^2)\]

\[S = 4(4 + 4\sqrt{5} + 5 - 4 + 4 - 4\sqrt{5} + 5)\]

\[S = 4(14)\]

\[S = 56\]

Таким образом, сумма кубов корней данного квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 1 = 0\) равна 56. Ответ: 4) 56.