Question

Спростіть вираз:1/а(а+1)+1/(а+1)(а+2)+...+1/(а+2020)(а+2021)​

Answer 1

Для упрощения данного выражения, давайте сначала найдем общий знаменатель для всех дробей в сумме. Обратим внимание, что каждая дробь вида 1/(а+i)(а+i+1) имеет знаменатель, который состоит из двух последовательных чисел (а+i и а+i+1), где i - это индекс дроби в сумме. Мы можем заметить, что знаменатель первой дроби равен (а+1)(а+2), знаменатель второй дроби равен (а+2)(а+3), и так далее. Таким образом, общий знаменатель для всех дробей будет (а+1)(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021).

Теперь, чтобы сложить все дроби, мы можем привести их к общему знаменателю. Итак, мы получаем следующее выражение:

1/(а(а+1)) + 1/((а+1)(а+2)) + 1/((а+2)(а+3)) + ... + 1/((а+2020)(а+2021))

Теперь давайте каждую дробь приведем к общему знаменателю (а+1)(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021):

1/((а(а+1))(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021)) + 1/((а(а+1))(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021)) + ...

Теперь у нас есть одинаковые знаменатели для всех дробей, и мы можем сложить числители:

(1 + 1 + 1 + ... + 1) / ((а(а+1))(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021))

Сумма всех единиц равна 2021 (поскольку у нас 2021 дробь). Теперь мы можем записать упрощенное выражение:

2021 / ((а(а+1))(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021))

Таким образом, упрощенное выражение равно 2021 / ((а(а+1))(а+2)(а+3)...(а+2020)(а+2021)).