Question

Прямокутник, одна сторона якого дорівнює 3 см, а діа- гональ - /13 см, обертається навколо меншої сторони. Знайдіть обʼєм тіла обертання.

Answer 1

10см так вчитель сказав

Answer 2

Щоб знайти об'єм тіла обертання, спершу потрібно з'ясувати, яке тіло утворюється при обертанні прямокутника. У вашому випадку прямокутник обертається навколо меншої сторони, тобто навколо сторони, яка дорівнює 3 см.

Таким чином, утворюється циліндр. Об'єм циліндра можна знайти за формулою:

\[V = \pi r^2 h,\]

де \(r\) - радіус основи циліндра, \(h\) - висота циліндра.

У вас діагональ прямокутника дорівнює 13 см. Знаючи сторони прямокутника і використовуючи теорему Піфагора, можемо знайти його сторони. Нехай \(a\) і \(b\) - сторони прямокутника. Тоді:

\[a^2 + b^2 = c^2,\]

де \(c\) - діагональ. Підставимо відомі значення:

\[3^2 + b^2 = 13^2.\]

Розв'язавши це рівняння, знайдемо \(b\):

\[9 + b^2 = 169,\]

\[b^2 = 160,\]

\[b = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}.\]

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 3 см і \(4\sqrt{10}\) см.

Тепер, так як циліндр утворюється обертанням прямокутника навколо меншої сторони (3 см), радіус циліндра буде дорівнювати половині ширини прямокутника, тобто \(r = \frac{3}{2}\) см.

Висота циліндра дорівнює іншій стороні прямокутника, яку ми позначили як \(b\), тобто \(h = 4\sqrt{10}\) см.

Тепер можемо обчислити об'єм циліндра:

\[V = \pi \left(\frac{3}{2}\right)^2 \cdot 4\sqrt{10}.\]

Підрахуємо це значення:

\[V \approx \pi \cdot \frac{9}{4} \cdot 4\sqrt{10} = 9\pi\sqrt{10} \, \text{см}^3.\]

Отже, об'єм тіла обертання дорівнює \(9\pi\sqrt{10} \, \text{см}^3\).