Question

Найдите уравнение касательной и нормали к графику функции: f(x) = 2x^2 + x + 1 так, чтобы касательная была перпендикулярна на прямую p : y = -x/9 + 2. С поясненням

Answer 1

Ответ:

Для того чтобы найти уравнение касательной и нормали к графику функции \(f(x) = 2x^2 + x + 1\), которая перпендикулярна прямой \(p: y = -\frac{x}{9} + 2\), мы должны выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции \(f(x)\). Производная будет представлять угловой коэффициент касательной к графику функции \(f(x)\).

\(f'(x) = 4x + 1\)

2. Прямая \(p\) имеет угловой коэффициент \(-\frac{1}{9}\). Чтобы касательная была перпендикулярна \(p\), её угловой коэффициент должен быть \(9\), обратной к обратному угловому коэффициенту \(p\).

3. Теперь нам нужно найти точку, в которой касательная касается графика функции \(f(x)\). Для этого мы можем использовать значение \(x\), в котором касательная и функция совпадают. Это можно найти, приравняв \(f'(x)\) к \(9\) и решив уравнение:

\(4x + 1 = 9\)

\(4x = 8\)

\(x = 2\)

4. Теперь у нас есть координата \(x\) точки касания касательной и графика функции \(f(x)\), которая равна \(2\). Мы можем найти соответствующее значение \(y\) путем подстановки \(x = 2\) в исходную функцию:

\(f(2) = 2 \cdot 2^2 + 2 \cdot 2 + 1 = 9\)

Таким образом, точка касания - это \((2, 9)\).

5. Теперь у нас есть точка и угловой коэффициент касательной. Мы можем использовать уравнение прямой в форме \(y = mx + b\), где \(m\) - угловой коэффициент, и подставить \(m = 9\) и точку \((2, 9)\) для нахождения коэффициента \(b\).

\(9 = 9 \cdot 2 + b\)

\(b = 9 - 18\)

\(b = -9\)

6. Теперь у нас есть уравнение касательной. Оно выглядит так:

\(y = 9x - 9\)

7. Чтобы найти уравнение нормали, мы можем использовать тот же угловой коэффициент \(-\frac{1}{9}\) и ту же точку \((2, 9)\). Уравнение нормали будет:

\(y = -\frac{1}{9}x + b\)

Подставим точку \((2, 9)\):

\(9 = -\frac{1}{9} \cdot 2 + b\)

\(9 = -\frac{2}{9} + b\)

\(b = 9 + \frac{2}{9} = \frac{83}{9}\)

Таким образом, уравнение нормали будет:

\(y = -\frac{1}{9}x + \frac{83}{9}\)

Теперь у нас есть уравнение касательной и нормали к графику функции \(f(x)\), так, чтобы касательная была перпендикулярна прямой \(p: y = -\frac{x}{9} + 2\).

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для нахождения уравнения касательной и нормали к графику функции f(x) = 2x^2 + x + 1, так чтобы касательная была перпендикулярна прямой p: y = -x/9 + 2, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдите производную функции f(x): f'(x) = d/dx (2x^2 + x + 1) = 4x + 1

2. Найдите уравнение касательной к графику функции f(x) в точке x0, где x0 - точка касания. Уравнение касательной имеет вид: y - f(x0) = f'(x0)(x - x0)

3. Найдите значение x0, в которой касательная будет перпендикулярна прямой p: y = -x/9 + 2. Для этого найдем угловой коэффициент прямой p, который равен -1/9 (из уравнения p). Угловой коэффициент касательной будет обратным к этому значению, то есть 9.

4. Теперь найдем точку касания x0. Для этого приравняем производную f'(x) к 9 (угловой коэффициент касательной): 4x0 + 1 = 9

5. Решите уравнение для x0: 4x0 = 9 - 1 4x0 = 8 x0 = 2

6. Теперь у нас есть точка касания x0 = 2. Найдем соответствующее значение y0, подставив x0 в функцию f(x): y0 = 2x0^2 + x0 + 1 y0 = 2(2)^2 + 2 + 1 y0 = 9

7. Теперь мы знаем, что точка касания (x0, y0) равна (2, 9).

8. Теперь мы можем написать уравнение касательной: y - 9 = 9(x - 2)

9. Распишем его: y - 9 = 9x - 18

10. Переносим -9 на правую сторону: y = 9x - 18 + 9 y = 9x - 9

Таким образом, уравнение касательной к графику функции f(x) = 2x^2 + x + 1, так чтобы она была перпендикулярна прямой p: y = -x/9 + 2, имеет вид: y = 9x - 9

Теперь, чтобы найти уравнение нормали, просто найдем прямую, перпендикулярную этой касательной. Угловой коэффициент нормали будет обратным к угловому коэффициенту касательной, то есть -1/9.

Уравнение нормали будет иметь вид: y - y0 = (-1/9)(x - x0)

Подставим точку касания (x0, y0) в уравнение нормали: y - 9 = (-1/9)(x - 2)

Упростим уравнение, умножив обе стороны на 9: 9y - 81 = -x + 2

Теперь переносим -x на левую сторону и добавим 81 к обеим сторонам: x + 9y = 83

Таким образом, уравнение нормали к графику функции f(x) = 2x^2 + x + 1, так чтобы она была перпендикулярна прямой p: y = -x/9 + 2, имеет вид: x + 9y = 83