Question

Визнач площу S криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) =x2, прямими y=0, x = 2 і x = 3

Answer 1

Ответ:      19/3 кв.ед.

Пошаговое объяснение:

Строим графики функций f(x) =x^2;  y = 0;  x = 2;  x = 3. (См. скриншот).

Площадь криволинейной трапеции S=∫(a;b)f(x)dx.

Пределы интегрирования a= 2;  b=3.

f(x) =  x^2.  Тогда

S=∫(2;3)x^2dx = 1/3x^3|(2;3) = 1/3(3^3-2^3) = 1/3(27-8) = 19/3 кв.ед.

Answer 2

Щоб знайти площу криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) = x^2, прямими y = 0, x = 2 і x = 3, ми можемо скористатися формулою для обчислення площі під кривою.

Спочатку, давайте намалюємо графік функції f(x) = x^2 та обмежуючих прямих, щоб зрозуміти, яку область ми розглядаємо.

Графік функції f(x) = x^2 та обмежуючі прямі


Ми бачимо, що область, яку ми хочемо виміряти, є область між графіком функції f(x) = x^2 та обмежуючими прямими.

Для обчислення площі ми можемо розділити цю область на дві прямокутні трапеції і обчислити їх площі окремо.

Розділення на дві трапеції


Тепер ми маємо дві трапеції, обидві мають однакову висоту, яка дорівнює різниці між значеннями x на обмежуючих прямих (x = 2 та x = 3). Також ми знаємо, що ширина першої трапеції дорівнює висоті f(x) = x^2 під x = 2, а ширина другої трапеції дорівнює висоті f(x) = x^2 під x = 3.

Обчислення площі першої трапеції

Площа першої трапеції (S1) може бути обчислена за формулою:

S1 = ((a + b) * h) / 2

де a - ширина верхньої сторони, b - ширина нижньої сторони, h - висота.

У нашому випадку, a = f(2) = 2^2 = 4, b = 0 (так як нижня сторона цієї трапеції розташована на прямій y = 0), h = x = 3 - 2 = 1.

Підставивши ці значення в формулу, отримаємо:

S1 = ((4 + 0) * 1) / 2 = 4/2 = 2

Обчислення площі другої трапеції

Площа другої трапеції (S2) може бути обчислена за тією ж самою формулою:

S2 = ((a + b) * h) / 2

У нашому випадку, a = f(3) = 3^2 = 9, b = 0 (так як нижня сторона цієї трапеції розташована на прямій y = 0), h = x = 3 - 2 = 1.

Підставивши ці значення в формулу, отримаємо:

S2 = ((9 + 0) * 1) / 2 = 9/2 = 4.5

Обчислення загальної площі

Загальна площа (S) криволінійної трапеції буде сумою площ першої та другої трапецій:

S = S1 + S2 = 2 + 4.5 = 6.5

Таким чином, площа криволінійної трапеції, обмеженої графіком функції f(x) = x^2, прямими y = 0, x = 2 і x = 3, дорівнює 6.5 квадратними одиницями.