Question

Знайдіть площу криволінійної трапеції обмеженої: 1) параболою y=x²+2, віссю абсцис і прямою x= -32) графіком функції y= 1/x, та прямими y=0, x=3 і x=6​

Answer 1

Ответ:

1)  Криволинейная трапеция ограничена параболой   y=x²+2 , осью ОХ (у=0)  и прямой  х= -3 . Но такая область не замкнута и её площадь вычислить невозможно .  Наверное в условии есть ещё одно ограничение - ось ОУ (х=0) .

$\displaystyle \bf S=\int\limits_{-3}^0\, (x^2+2)\, dx=\Big(\frac{x^3}{3}+2x\Big)\, \Big|_{-3}^0=0-\Big(-\frac{27}{3}-6\Big)=9+6=15$  

2)   Криволинейная трапеция ограничена гиперболой   у=1/х  , осью ОХ (у=0) и двумя прямыми  х= 3 ,  х=6 .

$\bf \displaystyle S=\int\limits_3^6\, \frac{1}{x}\, dx=ln|x|\, \Big|_3^6=ln6-ln3=ln\frac{6}{3}=ln2$                

Answer 2

1) Парабола y = x² + 2 зображується на графіку нижче: Графік функції y = 1/x є гіперболою, яка перетинається з віссю абсцис (y = 0) в точці x = 0 та в точці x = ±√2. Прямі y = 0, x = 3 і x = 6 зображуються як вертикальні лінії на графіку. Перетин графіка параболи, гіперболи та прямих відбувається в точках: 1) Параболи та гіперболи: x² + 2 = 1/x, x³ + 2x - 1 = 0. Ця квадратна функція має два різних розв'язки: один від'ємний та один додатний. 2) Параболи та вертикальної прямої x = 3: y = 3² + 2 = 11. 3) Параболи та вертикальної прямої x = 6: y = 6² + 2 = 38. Таким чином, отримуємо чотири точки перетину: A(-√2, -√2 + 2), B(√2, √2 + 2), C(3, 11), D(6, 38). Оберемо трапецію наступним чином: - Одна сторона трапеції - пряма лінія від точки A до точки B. - Інша сторона трапеції - парабола між точками B та C, а потім гіпербола між точками C та D. - Дві бічні сторони трапеції - прямі лінії паралельні осі абсцис. Довжина сторони AB: AB = √[(√2 - (-√2))² + (√2 + 2 - (-√2 + 2))²] = √[8 + 8] = √(16) = 4. Формула для обчислення площі трапеції: S = (a + b) * h / 2, де a і b - довжини основ трапеції, h - висота. Довжина основ трапеції: a = довжина ділянки BC - довжина графіку параболи між точками B та C. a = ∫(√2, 3) (x² + 2) dx = [x³/3 + 2x]√2 to 3 = [(3³/3 + 2 * 3) - (√2³/3 + 2 * √2)] = [27/3 + 6 - 2√2/3 - 2√2] = [9 + 6 - 2√2/3 - 2√2] = (15 - 2√2)/3 - 2√2. b = довжина ділянки CD - довжина графіку гіперболи між точками C та D. b = ∫(3, 6) (1/x) dx = ln|x| to 6 = ln(6) - ln(3) = ln(2). Висота трапеції: h = CD = 38 - 11 = 27. Отже, площа трапеції S = ((15 - 2√2)/3 - 2√2 + ln(2)) * 27 / 2.