Question

Дана геометрическая прогрессия, в которой количество членов кратно 6. Известно, что сумма всех её членов с номерами, кратными 3, равна 180, а сумма всех её членов с номерами, кратными 6, равна 160. Чему равна сумма всех членов этой прогрессии?

Answer 1

Ответ: Сумма всех членов данной прогрессии равна 315

Пошаговое объяснение:

Раз в данной прогрессии количество членов кратно шести, то и индекс последнего члена будет также кратен шести

Пусть количество всех членов равно 6k, тогда

cумма чисел с индексами кратными трем будет равна

$b_3 + b _ 6 + \ldots + b_{6k}$

У данной прогрессии  первый член b₃,

знаменатель — $\dfrac{b_6}{b_3} = q^3$

а количество членов  6k : 2 = 2k

Следовательно

$* ~ ~b_3 + b _ 6 + \ldots + b_{6k} = \dfrac{b_3 ((q^3)^{2k} -1) }{q^3 - 1} = \dfrac{b_1q^2 (q^{6k} - 1)}{q^3-1} = 180$

Теперь рассмотрим сумму членов, у которых индексы кратны 6

$b_6 + b _ {12} + \ldots + b_{6k}$

Первый член b₆, знаменатель равен $\dfrac{b_{12}}{b_6} = q^6$, а количество членов

6k : 6 = k ⇒

$** ~ b_6 + b _ {12} + \ldots + b_{6k} = \dfrac{b_6 ((q^6) ^k - 1)}{q^6 - 1} = \dfrac{b_1 q^5 (q^{6k} - 1)}{q^6 - 1} = 160$

Тогда

$\displaystyle \frac{b_6 + b _ {12} + \ldots + b_{6k} }{b_3 + b _ 6 + \ldots + b_{6k}} =\frac{\dfrac{b_1 q^5 (q^{6k} - 1)}{q^6 - 1}}{\dfrac{b_1q^2 (q^{6k} - 1)}{q^3 - 1} } = \frac{160}{180} \\\\ \frac{q^3(q^3 -1)}{q^6 - 1} = \frac{8}{9} \\\\ \frac{q^3 (q^3 - 1)}{(q^3 - 1)(q^3 + 1)} = \frac{8}{9} \\\\\\\ \frac{q^3 }{q^3 + 1} = \frac{8}{9} \\\\\\ 9 q^3 = 8q^3 + 8 \\\\ q^3 = 8 \\\\\ q = 2$

По условия требуется найти

$S _n = b_1 + b _ 2 + \ldots + b_{6k} = \dfrac{b_1(q^{6k} - 1)}{q-1}$

Для этого сделаем следующее

$\displaystyle \dfrac{b_1q^2 (q^{6k} - 1)}{q^3-1} \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2} = 180 \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2} \\\\\\\ \dfrac{b_1q^2 (q^{6k} - 1)}{(q-1)(q^2 + q + 1)} \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2} = 180 \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2} \\\\\\\ \frac{b_1(q^{6k} - 1)}{q-1} = 180 \cdot \frac{q^2 + q + 1}{q^2}$

В правой части подставим q = 2

$\displaystyle \frac{b_1(q^{6k} - 1)}{q-1} = 180 \cdot \frac{2^2 + 2 + 1}{2^2} = 45\cdot 7 = 315$

Следовательно

$S _n = b_1 + b _ 2 + \ldots + b_{6k} = \dfrac{b_1(q^{6k} - 1)}{q-1} = 315$
#SPJ1

Answer 2

Давайте решим эту задачу. Пусть первый член геометрической прогрессии равен а, а знаменатель прогрессии равен q. Также пусть количество членов прогрессии равно n.

Так как количество членов кратно 6, то n должно быть кратно 6. Поэтому мы можем записать n = 6k, где k - некоторое целое число.

Мы знаем, что сумма всех членов с номерами, кратными 3, равна 180. В геометрической прогрессии член с номером k имеет значение a * q^(k-1). Таким образом, сумма всех членов с номерами, кратными 3, может быть записана следующим образом:

a * q^2 + a * q^5 + a * q^8 + ... + a * q^(3k-1) = 180

Аналогично, сумма всех членов с номерами, кратными 6, равна 160:

a * q^5 + a * q^11 + a * q^17 + ... + a * q^(6k-1) = 160

Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Вычтем второе уравнение из первого:

(a * q^2 + a * q^5 + a * q^8 + ... + a * q^(3k-1)) - (a * q^5 + a * q^11 + a * q^17 + ... + a * q^(6k-1)) = 180 - 160

Упростим это выражение:

a * q^2 + a * q^5 - a * q^5 - a * q^11 + a * q^8 - a * q^17 + ... + a * q^(3k-1) - a * q^(6k-1) = 20

Многие члены сокращаются, и у нас остается:

a * q^2 - a * q^(6k-1) = 20

Теперь рассмотрим разность суммы всех членов прогрессии с номерами, кратными 6, и суммы всех членов прогрессии с номерами, кратными 3:

(a * q^5 + a * q^11 + a * q^17 + ... + a * q^(6k-1)) - (a * q^2 + a * q^5 + a * q^8 + ... + a * q^(3k-1)) = 160 - 180

Упростим это выражение:

a * q^11 - a * q^8 + a * q^17 - a * q^(3k-1) = -20

Многие члены сокращаются, и у нас остается:

a * q^11 - a * q^(3k-1) = -20

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

a * q^2 - a * q^(6k-1) = 20

a * q^11 - a * q^(3k-1) = -20

Решим эту систему численно или аналитически, чтобы найти значения a и q. Затем мы сможем найти сумму всех членов прогрессии, используя формулу суммы геометрической прогрессии:

S = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Где S - сумма всех членов прогрессии, a - первый член прогрессии, q - знаменатель прогрессии, n - количество членов прогрессии.