Question

Перший член геометричної прогресії зі знаменником 2 дорівнює 1. Чи може добуток де кількох перших членів цієї прогресії дорівнювати 2²⁰²²?​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

первый член 1

второй 1*2 =2 = 2^1

третий 2*2 = 4 = 2^2

четвертый 4*2 = 8 ^3

Степень = номер члена - 1

тогда 2^2022 - это 2023 член прогрессии.

Answer 2

Задача полягає в тому, чи можливо добуток деякої кількості перших членів геометричної прогресії зі знаменником 2 дорівнювати \(2^{2022}\).

Перший член геометричної прогресії зі знаменником 2 дорівнює 1. Загальний вигляд \(n\)-го члена \(a_n\) геометричної прогресії зі знаменником \(q\) визначається як:

\[a_n = a_1 \cdot q^{n-1},\]

де \(a_1\) - перший член, \(q\) - знаменник.

Ми шукаємо добуток деякої кількості перших членів геометричної прогресії, тобто \(a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k\), де \(k\) - кількість членів.

Для даної прогресії \(a_1 = 1\) і знаменник \(q = 2\).

Отже, добуток перших \(k\) членів буде:

\[a_1 \cdot a_2 \cdot \ldots \cdot a_k = 1 \cdot 2^0 \cdot 2^1 \cdot \ldots \cdot 2^{k-1}\]

Зауважте, що цей добуток - це геометрична прогресія з кількістю членів \(k\).

Ми шукаємо таке \(k\), щоб добуток перших \(k\) членів був рівним \(2^{2022}\).

Тобто, ми шукаємо \(k\), таке що:

\[1 \cdot 2^0 \cdot 2^1 \cdot \ldots \cdot 2^{k-1} = 2^{2022}\]

Спростимо ліву частину виразу:

\[2^0 \cdot 2^1 \cdot \ldots \cdot 2^{k-1} = 2^{0 + 1 + \ldots + (k-1)} = 2^{\frac{k \cdot (k - 1)}{2}}\]

Тепер поставимо це рівняння на практиці:

\[2^{\frac{k \cdot (k - 1)}{2}} = 2^{2022}\]

Тепер порівнюємо показники:

\(\frac{k \cdot (k - 1)}{2} = 2022\)

\(k \cdot (k - 1) = 4044\)

Тепер знаходимо два числа, які добуток дорівнює 4044. Ми бачимо, що 63 та 64 можуть бути такими числами:

\(63 \cdot 64 = 4032\)

Отже, знайшли такі \(k\) і \(k-1\) як 63 та 64 відповідно.

Отже, сума двох послідовних чисел, яка дорівнює 4044, є 63 та 64. Отже, знаходимо, що \(k = 64\).

Отже, добуток перших 64 членів геометричної прогресії зі знаменником 2 дорівнює \(2^{2022}\).