Question

При каких значениях k система не будет иметь решения? {((k^2+k+1)x+3y-6=0 x+y+k=0)

Answer 1

Для того чтобы определить, при каких значениях параметра \(k\) данная система уравнений не будет иметь решения, мы можем воспользоваться методом анализа совместности системы.

Дана система уравнений:

\[ \begin{cases} k^2 + k + 1)x + 3y - 6 = 0 \\ x + y + k = 0 \end{cases} \]

Мы можем привести второе уравнение к виду \(y = -x - k\) и подставить это выражение в первое уравнение:

\[ (k^2 + k + 1)x + 3(-x - k) - 6 = 0 \]

Раскроем скобки и упростим выражение:

\[ k^2x + kx + x - 3x - 3k - 6 = 0 \]

\[ k^2x - 2x + k - 3k - 6 = 0 \]

\[ k^2x - 2x - 2k - 6 = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение, зависящее от параметра \(k\). Система не будет иметь решения в том случае, если это уравнение не будет иметь решений для некоторых значений \(k\).

Давайте рассмотрим это уравнение как квадратное относительно \(x\):

\[ k^2x - 2x - 2k - 6 = 0 \]

Сначала проверим, что дискриминант этого квадратного уравнения (\(\Delta = b^2 - 4ac\)) неотрицателен, чтобы у уравнения были вообще решения:

\[ \Delta = (-2)^2 - 4(k^2)(-2) = 4(1 + 2k^2) \]

Так как \(4\) положительное число, то у уравнения есть корни.

Теперь мы должны убедиться, что дискриминант неотрицателен для того, чтобы у уравнения не было действительных корней:

\[ 1 + 2k^2 \geq 0 \]

Это неравенство истинно для всех \(k \in \mathbb{R}\), так как сумма квадратов любого числа неотрицательна.

Итак, система не будет иметь решения ни при каких значениях \(k\).