Question

Задание 1 (13 баллов). Найдите все натуральные числа n, кратные 5, при которых будет верным неравенство: 175 > n > 150. Обоснуйте своё решение, используя признак делимости. Задание 2. Из чисел 109, 270, 342, 871, 204, 1225, 3609 выпишите все числа, которые: а) делятся на 9 (14 баллов); б) делятся на 2 (14 баллов); в) делятся на 5 (14 баллов). Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости. Задание 3. Какую цифру можно подставить вместо *, чтобы: а) число 3*51 делилось на 9 без остатка (14 баллов); б) число 154* делилось на 2 без остатка (14 баллов). Укажите все возможные варианты. Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости. Задание 4 (17 баллов). Андрей забыл первую цифру своего пятизначного пароля от телефона *5825, но он помнит, что всё число делится на 3. Сколько вариантов кода ему нужно перебрать, чтобы разблокировать телефон? Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости.

Answer 1

1)Числа, оканчивающиеся на 5 и 0 - кратны 5: 155,160,165,170. 4 числа.

2)А)270, 871, 3609

Б)270, 342, 204

В)270, 1225.

3)А)0,9

Б)0,2,4,6,8

4)Число делится на 3,если сумма его чисел делится на 3

5+8+2+5=20

В промежутке 20>x>30

На 3 делятся числа 21,24,27

*=1, 4,7

Answer 2

Задание 1: Неравенство 175 > n > 150 говорит нам о том, что мы ищем все натуральные числа n, которые больше 150 и меньше 175.

Мы знаем, что число n должно быть кратным 5. Признак делимости на 5 гласит, что число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.

Исходя из этого, вариантами для значения n являются числа:

155 160 165 170

Таким образом, все натуральные числа n, кратные 5 и удовлетворяющие неравенству 175 > n > 150, это 155, 160, 165 и 170.

Задание 2: а) Числа, делящиеся на 9, должны иметь сумму своих цифр, также делящуюся на 9. Рассмотрим каждое число и найдем те, сумма цифр которых делится на 9:

109 (1 + 0 + 9 = 10, не делится на 9) 270 (2 + 7 + 0 = 9, делится на 9) 342 (3 + 4 + 2 = 9, делится на 9) 871 (8 + 7 + 1 = 16, не делится на 9) 204 (2 + 0 + 4 = 6, не делится на 9) 1225 (1 + 2 + 2 + 5 = 10, не делится на 9) 3609 (3 + 6 + 0 + 9 = 18, делится на 9)

Таким образом, числа, делящиеся на 9, это 270, 342 и 3609.

б) Числа, делящиеся на 2, должны иметь последние цифры 0, 2, 4, 6 или 8.

Исходя из этого, числа, делящиеся на 2, это 270, 342, 204 и 1225.

в) Числа, делящиеся на 5, должны иметь последние цифры 0 или 5.

Исходя из этого, числа, делящиеся на 5, это 270 и 1225.

Задание 3: а) Чтобы число 3*51 делилось на 9 без остатка, его сумма цифр должна быть кратна 9.

Исходя из этого, можем посчитать сумму цифр: 3 + * + 5 + 1 = 9 + *.

Таким образом, вместо * можно подставить любую цифру от 0 до 9.

б) Чтобы число 154* делилось на 2 без остатка, его последняя цифра должна быть четной.

Исходя из этого, вариантами для значения * являются 0, 2, 4, 6 и 8.

Задание 4: У нас есть пятизначное число *5825, которое должно делиться на 3 без остатка.

Признак делимости на 3 гласит, что число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Мы можем найти сумму цифр числа *5825 следующим образом: * + 5 + 8 + 2 + 5 = 20 + *.

Чтобы сумма цифр была кратна 3, * должно быть числом от 1 до 9, чтобы дать сумму от 21 до 29. Если мы заменим * на любое из этих чисел, то получим число, сумма цифр которого кратна 3, и, следовательно, делится на 3 без остатка.

Таким образом, Андрей должен перебрать 9 вариантов для первой цифры своего пароля (от 1 до 9), чтобы разблокировать телефон.

Answer 3

Задание 1

Нам нужно найти все натуральные числа n, которые кратны 5 и удовлетворяют неравенству 175 > n > 150.

Для решения этой задачи, мы можем использовать признак делимости на 5. Число n будет кратным 5, если его последняя цифра равна 0 или 5.

Поскольку нам нужно найти числа, которые удовлетворяют неравенству 175 > n > 150, мы можем начать с числа 155, так как оно кратно 5 и удовлетворяет неравенству.

После этого, мы можем увеличить n на 5 и проверить, удовлетворяет ли оно неравенству. Если да, то это одно из искомых чисел. Мы продолжаем этот процесс до тех пор, пока не достигнем 175.

Таким образом, искомые числа, которые удовлетворяют неравенству 175 > n > 150 и кратны 5, это: 155, 160, 165, 170.

Задание 2

Для этого задания нам нужно найти числа из заданного списка, которые делятся на 9, 2 и 5.

а) Делятся на 9:

Число делится на 9, если сумма его цифр также делится на 9. Мы можем проверить каждое число из списка и складывать его цифры, чтобы увидеть, делится ли сумма на 9.

Из чисел 109, 270, 342, 871, 204, 1225, 3609, только число 1225 делится на 9, так как 1 + 2 + 2 + 5 = 10, и 10 делится на 9.

б) Делятся на 2:

Число делится на 2, если его последняя цифра четная (0, 2, 4, 6, 8). Мы можем проверить каждое число из списка и проверить его последнюю цифру.

Из чисел 109, 270, 342, 871, 204, 1225, 3609, числа 270, 342, 204, и 1225 делятся на 2, так как их последние цифры 0, 2, 4, 2 соответственно.

в) Делятся на 5:

Число делится на 5, если его последняя цифра равна 0 или 5. Мы можем проверить каждое число из списка и проверить его последнюю цифру.

Из чисел 109, 270, 342, 871, 204, 1225, 3609, числа 270 и 1225 делятся на 5, так как их последние цифры 0 и 5 соответственно.

Задание 3

а) Число 3*51 делилось на 9 без остатка:

Чтобы число 3*51 делилось на 9 без остатка, сумма его цифр должна быть кратной 9. Мы можем подставить различные значения для * и проверить, делится ли сумма цифр на 9.

Проверяя различные значения для *, мы находим, что * может быть равным 6, так как 3 + 6 + 5 + 1 = 15, и 15 делится на 9.

б) Число 154* делилось на 2 без остатка:

Чтобы число 154* делилось на 2 без остатка, его последняя цифра должна быть четной (0, 2, 4, 6, 8). Мы можем подставить различные значения для * и проверить, является ли последняя цифра четной.

Проверяя различные значения для *, мы находим, что * может быть равным 0, 2, 4, 6 или 8, так как последняя цифра числа будет соответственно 0, 2, 4, 6 или 8.

Таким образом, возможные варианты для * в числе 3*51, чтобы оно делилось на 9 без остатка, это * = 6.

А возможные варианты для * в числе 154*, чтобы оно делилось на 2 без остатка, это * = 0, 2, 4, 6 или 8.

Задание 4

Андрей забыл первую цифру своего пятизначного пароля от телефона *5825, но он помнит, что это число делится на 3. Мы можем использовать признак делимости на 3 для решения этой задачи.

Чтобы число было кратно 3, сумма его цифр должна быть кратной 3. Мы можем просуммировать цифры 5, 8, 2 и 5 и увидеть, какую сумму мы получаем.

Сумма цифр 5 + 8 + 2 + 5 = 20. Чтобы получить число, кратное 3, мы можем добавить одну из следующих цифр: 1, 4, 7. Таким образом, у нас есть 3 варианта для первой цифры пароля.

Следовательно, Андрею нужно перебрать 3 варианта кода, чтобы разблокировать телефон.