Question

Андрей забыл первую цифру своего пятизначного пароля от телефона *5825, но он помнит, что всё число делится на 3. Сколько вариантов кода ему нужно перебрать, чтобы разблокировать телефон? Обоснуйте своё решение, используя признаки делимости.

Answer 1

Ответ:

3 варианта

Пошаговое объяснение:

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3.

Сумма известных нам чисел равна:

5+8+2+5=20

Ближайшее кратное 3 число после 20 = 21, значит сумма должна быть равна 21:

х+5+8+2+5=21

х=21-20=1

Первый вариант: 15825

Следующим кратным 3 числом является 24:

х+5+8+2+5=24

х=24-20=4

Второй вариант: 45825

Далее следует 27:

х+5+8+2+5=27

х=27-20=7

Третий вариант: 75825

Далее следует 30:

х+5+8+2+5=30

х=30-20=10 - получено двузначное число, что не удовлетворяет условию задачи, так как на место пропуска можно подставить лишь одну цифру => у нас есть только три варианта пароля

Answer 2

По условию задачи, Андрей забыл первую цифру своего пятизначного пароля от телефона *5825 и помнит, что все число делится на 3. Чтобы понять, сколько вариантов кода ему нужно перебрать, мы можем использовать признаки делимости на 3.

Признак делимости на 3 гласит, что число делится на 3, если сумма его цифр также делится на 3. Поскольку Андрей знает, что его пятизначный пароль делится на 3, мы можем рассмотреть все возможные варианты суммы цифр для чисел от 1 до 9 (поскольку первая цифра не может быть 0).

Сумма цифр от 1 до 9 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45. Поскольку сумма цифр числа должна делиться на 3, то исключим из рассмотрения случаи, когда сумма равна 45 (делится на 3 нацело).

Рассмотрим оставшиеся варианты для суммы цифр: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, 33, 36, 39, 42 и 44.

Теперь посчитаем количество пятизначных чисел, у которых сумма цифр равна каждому из этих значений и которые начинаются с цифры, отличной от 0.

1. Для суммы 3: Существует только одно пятизначное число 30000.

2. Для суммы 6: Существует 5 пятизначных чисел (60000, 51000, 50100, 50010, 50001).

3. Для суммы 9: Существует 14 пятизначных чисел.

...

И так далее, мы можем продолжить этот процесс для каждой суммы и посчитать общее количество пятизначных чисел, удовлетворяющих условиям задачи. Ответ будет равен сумме количества пятизначных чисел для каждой из рассмотренных сумм.

Однако, этот подход требует много вычислений. Более эффективный способ решения этой задачи заключается в использовании формулы комбинаторики.

Пятизначное число вида ABCDE, где каждая буква представляет собой цифру от 0 до 9 (первая цифра не может быть 0), и сумма всех цифр равна сумме A + B + C + D + E. Мы знаем, что сумма всех цифр должна быть кратна 3, и у нас есть 10 вариантов для каждой цифры (от 0 до 9).

Используя комбинаторику, мы можем рассчитать количество способов выбора цифр для каждой позиции таким образом, чтобы их сумма была кратна 3. Поскольку первая цифра не может быть 0, у нас есть 9 вариантов для первой цифры (от 1 до 9), и для каждой из оставшихся четырех цифр у нас есть 10 вариантов (от 0 до 9).

Таким образом, общее количество вариантов кода, которые нужно перебрать Андрею, равно: \[9 \times 10^4 = 90,000.\]

Итак, чтобы разблокировать телефон, Андрею нужно перебрать 90,000 вариантов кода.