Question

Дам 50 баллов, задача не слишком сложная. Натуральное число является произведением всех простых чисел, меньших чем 2020. Чему равна его последняя цифра? Необходимо полное объяснение.

Answer 1

Ответ:

Простые числа - это числа, которые имеют два делителя (Себя и 1). Подберём простые числа меньше 2020:

2; 3; 5; 7; 11; 13; 17...

2*3*5*7*11*13*17

Как мы видем, первые 3 цифры дают произведение 30, а при любом произведении с 30, в конце всегда будет 0.

30*7=210

210*11=2310 и т.д.

Пошаговое объяснение:

Answer 2

Ответ:

0

Пошаговое объяснение:

2·3·5=30

При умножении числа 30 на остальные числа последней цифрой будет 0

Answer 3

Для решения этой задачи нам нужно найти произведение всех простых чисел, меньших чем 2020, и выяснить, какая будет последняя цифра этого произведения.

Простые числа, меньшие чем 2020, включают числа от 2 до 2017 (2020 не является простым числом). Мы можем найти их произведение, начиная с числа 2, затем умножаем на 3, 5, 7 и так далее до 2017.

Однако, для того чтобы вычислить последнюю цифру произведения, нам не обязательно перемножать все эти числа. Нам необходимо определить, какие факторы влияют на последнюю цифру произведения.

Рассмотрим последние цифры некоторых простых чисел в их степенях:

- \(2^1 = 2\) - \(2^2 = 4\) - \(2^3 = 8\) - \(2^4 = 16\) - \(2^5 = 32\) - \(2^6 = 64\) - \(2^7 = 128\) - \(2^8 = 256\) (последняя цифра - 6) - \(2^9 = 512\) (последняя цифра - 2) - \(2^{10} = 1024\) (последняя цифра - 4) - \(2^{11} = 2048\) (последняя цифра - 8) - \(2^{12} = 4096\) (последняя цифра - 6) - и так далее

Таким образом, мы видим, что у \(2\) последняя цифра периодически повторяется через каждые \(4\) степени. Это свойство остатков при делении степеней числа на \(10\).

Аналогично, другие простые числа также будут иметь определенный цикл для своих последних цифр в степенях. Например:

- \(3^1 = 3\) - \(3^2 = 9\) - \(3^3 = 27\) (последняя цифра - 7) - \(3^4 = 81\) (последняя цифра - 1) - \(3^5 = 243\) (последняя цифра - 3) - \(3^6 = 729\) (последняя цифра - 9) - \(3^7 = 2187\) (последняя цифра - 7) - \(3^8 = 6561\) (последняя цифра - 1) - и так далее

Последняя цифра произведения всех простых чисел, меньших чем 2020, будет зависеть от последних цифр соответствующих степеней каждого простого числа. Это означает, что чтобы найти последнюю цифру произведения, нам нужно перемножить последние цифры степеней каждого простого числа.

Таким образом, простые числа меньше чем 2020 включают в себя 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... и так далее до 2017.

- Для \(2\) последняя цифра степени меняется через каждые \(4\) степени: \(2^1 = 2\), \(2^2 = 4\), \(2^3 = 8\), \(2^4 = 6\), \(2^5 = 2\) и так далее. - Для \(3\) последняя цифра степени меняется через каждые \(4\) степени: \(3^1 = 3\), \(3^2 = 9\), \(3^3 = 7\), \(3^4 = 1\), \(3^5 = 3\) и так далее. - Для \(5\) последняя цифра степени меняется через каждые \(1\) степень: \(5^1 = 5\), \(5^2 = 5\), \(5^3 = 5\) и так далее. - Для \(7\) последняя цифра степени меняется через каждые \(4\) степени: \(7^1 = 7\), \(7^2 = 9\), \(7^3 = 3\), \(7^4 = 1\), \(7^5 = 7\) и так далее.

Теперь, когда мы рассмотрели характеристики последних цифр степеней каждого простого числа, чтобы найти последнюю цифру произведения всех этих чисел, мы умножим последние цифры степеней всех простых чисел меньше чем 2020:

- \(2^{\text{(некоторое чётное число)}}\) имеет последнюю цифру \(6\). - \(3^{\text{(какое-то чётное число)}}\) имеет последнюю цифру \(1\). - \(5^{\text{(любое число)}}\) имеет последнюю цифру \(5\). - \(7^{\text{(какое-то чётное число)}}\) имеет последнюю цифру \(1\).

Последняя цифра произведения всех простых чисел меньше чем 2020 будет произведением последних цифр степеней каждого простого числа. Таким образом, \(6 \times 1 \times 5 \times 1 = 30\). Последняя цифра этого произведения равна \(0\).

Таким образом, последняя цифра н