Question

Із проміжку [-1;2] навмання взято два дійсні числа. Знайдіть імовірність того, то їхня сума буде більшою від одиниці, а добуток менший від одиниці.

Answer 1

Задача на геометрическую вероятность.

Пусть два действительные числа имеют обозначения x и у.

Выбрать произвольно два числа x, y ∈ [-1;2] означает, что нужно точку с координатами (x;y) во внутрь квадрата -1 ≤ x;y ≤ 2 площадь которой $S=3^2=9$

Согласно условию: x + y > 1 и xy < 1. Нарисуем область

$m=\displaystyle\int_{-1}^{1/2}dx\int^2_{1/2}dy+\int_{1/2}^2dx\int^{1/x}_{1-x} dy=\int^{1/2}_{-1}(1+x)dx+\int^2_{1/2}\left(\frac{1}{x}-1+x\right)dx=$

$\displaystyle \left(x+\dfrac{x^2}{2}\right)\bigg|^{1/2}_{-1}+\left(\ln|x|-x+\dfrac{x^2}{2}\right)\bigg|^{2}_{1/2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{8}+1-\dfrac{1}{2}+\ln2-$

$-\ln\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{8}=\ln4+1.5$

Искомая вероятность $p=\dfrac{m}{n}=\dfrac{\ln4+1.5}{9}\approx0.32$

Answer 2

Для знаходження ймовірності того, що сума двох випадково вибраних дійсних чисел з проміжку [-1;2] буде більшою від одиниці, а добуток менший від одиниці, ми можемо розділити цей процес на два окремі кроки і використати геометричну ймовірність.

1. Знайдемо ймовірність того, що сума чисел буде більшою від одиниці. Для цього ми можемо побудувати графік області, де сума більше одиниці в проміжку [-1;2]. Ця область буде складатися з усіх точок, для яких x + y > 1, де x і y - два випадково вибрані числа.

Графічно це виглядає як трикутник, який обмежується лініями x + y = 1 та x = -1, y = 2.

Щоб знайти площу цього трикутника, можемо використовувати геометричну формулу для площі трикутника: S = 1/2 * a * h, де a - довжина одного з його сторін, а h - висота. Висоту можна знайти, як відстань від точки (-1, 2) до лінії x + y = 1, і вона дорівнює 2 - 1 = 1.

Таким чином, площа цього трикутника дорівнює 1/2 * 3 * 1 = 1.5.

Загальна площа прямокутника, який обмежує проміжок [-1;2], дорівнює 3 * 3 = 9.

Отже, ймовірність того, що сума чисел більше одиниці, дорівнює S_сума / S_прямокутник = 1.5 / 9 = 1/6.

2. Знайдемо ймовірність того, що добуток чисел менший від одиниці. Для цього ми будемо аналізувати, яким чином добуток чисел може бути менший від одиниці.

Добуток менший від одиниці буде в тому випадку, коли одне число більше за одиницю, а інше менше за одиницю. Одиним способом отримати таку ситуацію є вибір одного числа з проміжку (1, 2) і іншого числа з проміжку (-1, 1).

Ймовірність вибору числа з проміжку (1, 2) дорівнює (2 - 1) / (2 - (-1)) = 1 / 3.

Ймовірність вибору числа з проміжку (-1, 1) дорівнює (1 - (-1)) / (2 - (-1)) = 2 / 3.

Таким чином, ймовірність того, що добуток чисел менший від одиниці, дорівнює P(число > 1) * P(число < 1) = (1/3) * (2/3) = 2/9.

3. Знайдемо загальну ймовірність. Щоб знайти загальну ймовірність того, що обидві умови виконуються одночасно, ми помножимо ймовірності кожної окремо:

Ймовірність (сума > 1 та добуток < 1) = P(сума > 1) * P(добуток < 1) = (1/6) * (2/9) = 2/54 = 1/27.

Отже, ймовірність того, що сума двох випадково вибраних дійсних чисел з проміжку [-1;2] буде більшою від одиниці, а добуток менший від одиниці, дорівнює 1/27, або приблизно 0.03704 (до чотирьох знаків після коми).