Question

Вычислите площадь фигуры ограниченную линиями y=x^4 y=2x Пожалуйста!!!

Answer 1

Ответ:

решения на фота

Пошаговое объяснение:

...........

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривыми \(y = x^4\) и \(y = 2x\), нам нужно найти точки их пересечения. Эти точки будут представлять собой границы нашей фигуры.

Сначала приравняем уравнения:

\[x^4 = 2x\]

Это уравнение имеет несколько корней, но нас интересует только положительные значения \(x\), так как \(x\) и \(y\) не могут быть отрицательными в контексте данной задачи.

Решим уравнение:

\[x^4 - 2x = 0\]

Факторизуем:

\[x(x^3 - 2) = 0\]

У нас есть два корня: \(x = 0\) и \(x = \sqrt[3]{2}\). Так как нам интересны только положительные значения \(x\), то мы выбираем \(x = \sqrt[3]{2}\).

Теперь подставим этот \(x\) в оба исходных уравнения, чтобы найти соответствующие значения \(y\):

Для \(y = x^4\):

\[y = (\sqrt[3]{2})^4 = 2^\frac{4}{3} = 4\).

Для \(y = 2x\):

\[y = 2 \cdot \sqrt[3]{2}\).

Таким образом, у нас есть две точки пересечения: \((\sqrt[3]{2}, 4)\) и \((\sqrt[3]{2}, 2\sqrt[3]{2})\).

Теперь, чтобы найти площадь между кривыми, нужно найти определенный интеграл от \(x = 0\) до \(x = \sqrt[3]{2}\) разности функций \(y = 2x\) и \(y = x^4\):

\[A = \int_0^{\sqrt[3]{2}} (2x - x^4) \,dx\]

Раскрываем скобки:

\[A = \int_0^{\sqrt[3]{2}} 2x - x^4 \,dx\]

Интегрируем:

\[A = \left[x^2 - \frac{x^5}{5}\right]_0^{\sqrt[3]{2}}\]

Подставляем верхний и нижний пределы:

\[A = \left[(\sqrt[3]{2})^2 - \frac{(\sqrt[3]{2})^5}{5}\right] - \left[0^2 - \frac{0^5}{5}\right]\]

\[A = \left[2 - \frac{2\sqrt[3]{4}}{5}\right] - 0\]

\[A = 2 - \frac{2\sqrt[3]{4}}{5}\]

Итак, площадь фигуры ограниченной кривыми \(y = x^4\) и \(y = 2x\) равна \(2 - \frac{2\sqrt[3]{4}}{5}\) квадратных единиц.