Question

Найдите все первообразные функциии f(x)=5x4-2x+1​

Answer 1

Ответ:

$x^5-x^2+x+C; C=const.$

Пошаговое объяснение:

Для того, чтобы найти все первообразные функции $f(x)$, требуется найти неопределенный интеграл от этой функции $f(x)$.

Нам дана функция: $f(x)=5x^4-2x+1$.

Формула нахождения неопределенного интеграла имеет вид:

$F(x)=\int\limits {f(x)} \, dx$

Подставим нашу функцию в формулу выше:

$F(x)=\int\limits {(5x^4-2x+1)} \, dx=\int\limits {(5x^4})dx-\int\limits {(2x)} \, dx+\int\limits {(1)} \, dx$

Теперь каждый найдем неопределенный интеграл по отдельности

$\int\limits {(5x^4})dx=5*\int\limits {(x^4})dx=5*\frac{x^{4+1} }{4+1}=5* \frac{x^{5} }{5}=x^5+C$

Данный интеграл находится используя свойство интегралов:

$\int\limits {a*f(x)} \, dx =a*\int\limits {f(x)} \, dx$

$\int\limits {(x^n)} \, dx =\frac{x^{n+1}}{n+1}; n\neq 1$

Далее найдем второй интеграл:

$\int\limits {(2x)} \, dx=2*\int\limits {(x)} \, dx=2*\frac{x^2}{2}=x^2+C$

Используем аналогичные свойства интегралов, что и выше.

И последний интеграл от 1:

$\int\limits {(1)} \, dx=x+C$, где C - константа интегрирования.

Все вместе будет иметь вид:

$F(x)=\int\limits {(5x^4-2x+1)} \, dx=\int\limits {(5x^4})dx-\int\limits {(2x)} \, dx+\int\limits {(1)} \, dx=x^5-x^2+x+C$ - это и будет ответ.

Answer 2

Чтобы найти первообразные функции для данной функции f(x) = 5x^4 - 2x + 1, мы будем использовать метод интегрирования.

Интегрирование - это процесс нахождения функции F(x), такой, что её производная F'(x) равна данной функции f(x).

Итак, начнем с нахождения первообразной для каждого члена в функции f(x):

1. Для 5x^4: Интегрируем 5x^4 по отношению к x. ∫5x^4 dx = (5/5)x^5 + C1 = x^5 + C1, где C1 - произвольная постоянная.

2. Для -2x: Интегрируем -2x по отношению к x. ∫-2x dx = (-2/2)x^2 + C2 = -x^2 + C2, где C2 - произвольная постоянная.

3. Для 1: Интегрируем константу 1 по отношению к x. ∫1 dx = x + C3, где C3 - произвольная постоянная.

Теперь объединим все эти результаты, чтобы найти первообразную для исходной функции f(x):

F(x) = x^5 + C1 - x^2 + C2 + x + C3

Теперь можно объединить постоянные C1, C2 и C3 в одну произвольную постоянную C:

F(x) = x^5 - x^2 + x + C

Итак, первообразная функции f(x) = 5x^4 - 2x + 1 равна:

F(x) = x^5 - x^2 + x + C, где C - произвольная постоянная.