Question

Найти производную, используя ее определение f(x) = 2x^2 + 5

Answer 1

Ответ: f'(x)=4*x.

Пошаговое объяснение:

1) Находим f(x+Δx)=2*(x+Δx)²+5=2*x²+4*x*Δx+2*(Δx)²+5.

2) Находим Δf=f(x+Δx)-f(x)=4*x*Δx+2*(Δx)².

3) Находим Δf/Δx=4*x+2*Δx.

4) Находим предел Δf/Δx при Δx⇒0. Очевидно, что он равен 4*x. А этот предел есть ни что иное, как производная f'(x).

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = 2x^2 + 5 мы можем использовать определение производной. Определение производной гласит, что производная функции f(x) в точке x_0 равна пределу отношения изменения функции к изменению аргумента при стремлении изменения аргумента к нулю.

Математически, определение производной записывается следующим образом:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

где f'(x) обозначает производную функции f(x).

Применяя это определение к функции f(x) = 2x^2 + 5, мы можем найти производную. Давайте проделаем вычисления:

f'(x) = lim(h -> 0) [f(x + h) - f(x)] / h

Подставим функцию f(x) = 2x^2 + 5:

f'(x) = lim(h -> 0) [2(x + h)^2 + 5 - (2x^2 + 5)] / h

Раскроем скобки и упростим выражение:

f'(x) = lim(h -> 0) [2(x^2 + 2xh + h^2) + 5 - 2x^2 - 5] / h

f'(x) = lim(h -> 0) [2x^2 + 4xh + 2h^2 + 5 - 2x^2 - 5] / h

Упростим выражение, убрав одинаковые слагаемые:

f'(x) = lim(h -> 0) [4xh + 2h^2] /