Question

Найти производные функцииy'=(arctg(ln5x))^3)'​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение.

Answer 2

Чтобы найти производную функции y = (arctg(ln(5x)))^3, нам нужно использовать правило дифференцирования сложной функции и правило дифференцирования степенной функции.

Применение правила дифференцирования сложной функции

Правило дифференцирования сложной функции гласит: если у нас есть функция f(g(x)), то её производная f'(g(x)) равна производной внешней функции f'(u) умноженной на производную внутренней функции g'(x).

Применение правила дифференцирования степенной функции

Правило дифференцирования степенной функции гласит: если у нас есть функция y = u^n, где u - функция от x, а n - фиксированная степень, то её производная y' равна произведению степени на производную базовой функции: y' = n * u^(n-1) * u'.

Теперь применим эти правила к нашей функции:

1. Внутренняя функция g(x) = ln(5x). 2. Внешняя функция f(u) = u^3. 3. Найдем производную внутренней функции g'(x): g'(x) = (1/(5x)) * 5 = 1/x. 4. Найдем производную внешней функции f'(u): f'(u) = 3 * u^(3-1) * u' = 3 * u^2 * u' = 3 * (arctg(ln(5x)))^2 * (1/x). 5. Теперь применим правило дифференцирования сложной функции: y' = f'(g(x)) = f'(u) * g'(x) = 3 * (arctg(ln(5x)))^2 * (1/x) * (1/x) = 3 * (arctg(ln(5x)))^2 * (1/x^2).

Таким образом, производная функции y = (arctg(ln(5x)))^3 равна 3 * (arctg(ln(5x)))^2 * (1/x^2).