Question

Найдите производную функции F(x)=tg²x-ctg²x и вычислить f'(π/4)

Answer 1

Ответ 8.

Решение задачи прилагаю

Answer 2

Для нахождения производной функции f(x) = tg²x - ctg²x, мы сначала найдем производную от каждого слагаемого по отдельности, а затем сложим их.

1. Производная от tg²x: Для нахождения производной от функции tg²x, мы можем использовать формулу производной композиции функций. Поэтому, f'(x) = 2tgx * (tgx)'.

Производная от функции tgx равна (tgx)' = 1/cos²x. Таким образом, производная от tg²x равна: f'(x) = 2tgx * (1/cos²x) = 2tgx / cos²x.

2. Производная от ctg²x: Аналогично, производная от функции ctg²x равна: f'(x) = -2ctgx * (ctgx)'.

Производная от функции ctgx равна (ctgx)' = -1/sin²x. Таким образом, производная от ctg²x равна: f'(x) = -2ctgx * (-1/sin²x) = 2ctgx / sin²x.

3. Производная от суммы двух слагаемых: Для нахождения производной от суммы двух функций, мы можем просто сложить их производные: f'(x) = 2tgx / cos²x + 2ctgx / sin²x.

Теперь мы можем вычислить значение производной f'(π/4). Подставляя x = π/4 в полученное выражение, получаем: f'(π/4) = 2tg(π/4) / cos²(π/4) + 2ctg(π/4) / sin²(π/4).

Заметим, что tg(π/4) = 1 и тангенс и котангенс одного и того же угла равны. Также cos²(π/4) = 1/2 и sin²(π/4) = 1/2. Подставляя эти значения, получаем: f'(π/4) = 2 * 1 / (1/2) + 2 * 1 / (1/2) = 4 / (1/2) + 4 / (1/2) = 4 * 2 + 4 * 2 = 16.

Таким образом, производная функции f(x) = tg²x - ctg²x равна f'(x) = 2tgx / cos²x + 2ctgx / sin²x, а значение производной в точке π/4 равно f'(π/4) = 16.