Question

Найдите значения: sina/2, cosa/2, tga/2, если sina 14/50 и П/2 <а<П. ​

Answer 1

$\sin(a) = \frac{14}{50}$

$\frac{\pi}{2} < a < \pi$

a принадлежит второй четверти, в которой косинус отрицателен,

тогда $\cos(a) < 0$

$\cos^2(a) + \sin^2(a) \equiv 1$

$\cos^2(a) \equiv 1 - \sin^2(a)$

$\cos(a) = \pm\sqrt{1 - \sin^2(a)}$

но т.к. $\cos(a) < 0$, то

$\cos(a) = -\sqrt{1-\sin^2(a)}$

$\cos(a) = -\sqrt{1 - \left( \frac{14}{50}\right)^2} =$

$= -\sqrt{1 - \frac{14^2}{50^2}} = -\sqrt{1 - \frac{196}{2500}} =$

$= -\sqrt{\frac{2500 - 196}{2500}} = -\sqrt{\frac{2304}{2500}} =$

$= -\frac{\sqrt{2304}}{\sqrt{2500}} = -\frac{48}{50}$

итак $\cos(a) = -\frac{48}{50}$

теперь найдем $\sin(\frac{a}{2})$ и $\cos(\frac{a}{2})$.

$\cos(a) = \cos^2(\frac{a}{2}) - \sin^2(\frac{a}{2}) =$

$= 1 - \sin^2(\frac{a}{2}) - \sin^2(\frac{a}{2}) =$

$= 1 - 2\sin^2(\frac{a}{2})$

$2\sin^2(\frac{a}{2}) = 1 - \cos(a)$

$\sin^2(\frac{a}{2}) = \frac{1 - \cos(a)}{2}$

$\sin(\frac{a}{2} = \pm\sqrt{\frac{1-\cos(a)}{2}}$

$\frac{\pi}{2} < a < \pi$ ⇔ $\frac{\pi}{4} < \frac{a}{2} < \frac{\pi}{2}$

а это значит $\frac{a}{2}$ принадлежит первой четверти в которой и синус и косинус положительны, поэтому

$\sin(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1 - \cos(a)}{2}} =$

$= \sqrt{\frac{1 - (-\frac{48}{50})}{2}} =$

$= \sqrt{\frac{1 + \frac{48}{50}}{2}} =$

$= \sqrt{\frac{50 + 48}{2\cdot 50}} =$

$= \sqrt{\frac{98}{100}} = \sqrt{\frac{49}{50}} = \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{50}} =$

$= \frac{7}{5\cdot\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{10}$

$\cos(a) = \cos^2(\frac{a}{2}) - \sin^2(\frac{a}{2}) =$

$= \cos^2(\frac{a}{2}) - (1 - \cos^2(\frac{a}{2})) =$

$= 2\cos^2(\frac{a}{2}) - 1$

$2\cos^2(\frac{a}{2}) = \cos(a) + 1$

$\cos^2(\frac{a}{2}) = \frac{\cos(a) + 1}{2} = \frac{-\frac{48}{50} + 1}{2} =$

$= \frac{-48 + 50}{2\cdot 50} = \frac{2}{2\cdot 50} = \frac{1}{50}$

$\cos(\frac{a}{2}) = \sqrt{\frac{1}{50}} = \frac{1}{\sqrt{50}} = \frac{1}{5\sqrt{2}} =$

$= \frac{\sqrt{2}}{10}$

$\mathrm{tg}(\frac{a}{2}) = \frac{\sin(\frac{a}{2})}{\cos(\frac{a}{2})} =$

$= \frac{\frac{7\sqrt{2}}{10}}{\frac{\sqrt{2}}{10}} = 7$

Answer 2

Для начала найдем значения sin(a/2) и cos(a/2) с использованием формулы половинного угла:

sin(a/2) = sqrt((1 - cos(a)) / 2)

cos(a/2) = sqrt((1 + cos(a)) / 2)

Используя данное значение sin(a), разложим его в произведение двух синусов через формулу двойного угла:

sin(a) = 2sin(a/2)cos(a/2)

Подставим вместо sin(a) полученное значение и получим:

2sin(a/2)cos(a/2) = 2(sqrt((1 - cos(a)) / 2)) * sqrt((1 + cos(a)) / 2)

= sqrt((1 - cos(a))(1 + cos(a)))

= sqrt(1 - cos^2(a))

Таким образом, получаем сумму значений sin(a/2) и cos(a/2) через значение sin(a):

sin(a/2) + cos(a/2) = sqrt(1 - cos^2(a))

Известно, что a находится в интервале (π/2, π), поэтому cos(a) отрицательный. Значит, (1 - cos^2(a)) положительно. Таким образом, ответ: sin(a/2) = sqrt(1 - cos^2(a)) cos(a/2) = sqrt((1 + cos(a)) / 2)

Найдем значение tg(a/2):

Из формулы: tg(a/2) = sin(a/2) / cos(a/2)

Подставляя значения sin(a/2) и cos(a/2), получим:

tg(a/2) = (sqrt(1 - cos^2(a))) / (sqrt((1 + cos(a)) / 2))

Таким образом, мы получаем значения sin(a/2), cos(a/2) и tg(a/2) с использованием заданных значений sin(a) и интервала для a.