Question

Найдите количество способов расставить 8 ладей на шахматной доске 8×8 так, чтобы каждая свободная клетка доски была побита хотя бы одной ладьёй.

Answer 1

Ответ: 40320.

Пошаговое объяснение:

В каждом столбце и в каждой строке должна стоять ровно одна ладья. Количество таких расстановок суть количество перестановок {1, ..., 8} (первая цифра - строка, вторая - столбец), или 8!=40320.

Answer 2

Чтобы найти количество способов расставить 8 ладей на шахматной доске 8x8 так, чтобы каждая свободная клетка доски была побита хотя бы одной ладьей, мы можем воспользоваться принципом инклюзии-эксклюзии.

Сначала рассмотрим количество способов разместить 8 ладей на доске без каких-либо ограничений. Это можно сделать следующим образом:

1. Первую ладью можно разместить на любой из 64 клеток. 2. Вторую ладью можно разместить на любой из оставшихся 63 клеток. 3. Третью ладью можно разместить на любой из оставшихся 62 клеток, и так далее.

Поэтому общее количество способов разместить 8 ладей без ограничений составляет 64 * 63 * 62 * 61 * 60 * 59 * 58 * 57.

Теперь рассмотрим способы, при которых есть хотя бы одна клетка на доске, которую не бьет ни одна из ладей. Мы можем рассмотреть все возможные способы размещения ладей так, чтобы какая-то клетка осталась не побитой и затем вычесть это количество из общего числа способов.

Предположим, что какая-то клетка осталась не побитой. Есть 64 способа выбрать эту клетку. Теперь давайте рассмотрим способы размещения 7 ладей на оставшихся 63 клетках, чтобы ни одна из них не находилась в том же ряду, столбце или диагонали, что и выбранная клетка. Это можно сделать, например, следующим образом:

1. Выберем способ размещения ладей в первом ряду. Есть 8 способов сделать это. 2. В следующем ряду можно выбрать одну из 7 оставшихся клеток (исключая клетку в том же столбце, что и первая ладья). 3. Затем в следующем ряду можно выбрать одну из 6 оставшихся клеток (исключая клетки в том же столбце и диагоналях, что и предыдущие ладьи), и так далее.

Таким образом, количество способов разместить 7 ладей на оставшихся 63 клетках так, чтобы ни одна из них не находилась в том же ряду, столбце или диагонали, что и выбранная клетка, составляет 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2.

Теперь мы можем применить принцип инклюзии-эксклюзии. Количество способов, при которых хотя бы одна клетка осталась не побитой, равно 64 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2) - это количество способов, которые мы должны вычесть из общего числа способов.

Итак, общее количество способов разместить 8 ладей на доске 8x8 так, чтобы каждая свободная клетка была побита хотя бы одной ладьей, равно:

64 * 63 * 62 * 61 * 60 * 59 * 58 * 57 - 64 * (8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2).

Теперь вы можете вычислить это значение.