Question

Точка М делит ребро А1В1 куба АВСDA1B1C1D1 длиной в соотношение В1М : А1М=2:1, через точку М проведите сечение, параллельное плоскости АВ1С1 и найдите его площадь​

Answer 1

Ответ:

Докажем, что плоскость (A₁DC₁) параллельна плоскости (АВ₁С).

АА₁║СС₁ и АА₁ = СС₁ как боковые ребра куба, АА₁⊥(АВС), значит

АА₁С₁С - прямоугольник, тогда А₁С₁║АС.

Аналогично, АВ₁║DC₁, значит  (A₁DC₁) ║ (АВ₁С), т.к. если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то плоскости параллельны.

М - середина A₁D₁.

Пусть Р - середина D₁C₁, К - середина DD₁.

Тогда МР║А₁С₁ как средняя линия ΔA₁C₁D₁,

КР║DC₁ как средняя линия ΔDD₁C₁, значит

(КМР)║(A₁DC₁) по признаку параллельности плоскостей, а значит и

(КМР)║(АВ₁С).

КМР - искомое сечение.

Стороны ΔКМР в два раза меньше сторон ΔA₁DC₁, так как они являются средними линиями соответствующих треугольников, значит

ΔКМР ~ ΔA₁DC₁ по трем пропорциональным сторонам.

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

см²

ΔA₁DC₁ - равносторонний, так как его стороны - диагонали равных квадратов.

Площадь правильного треугольника:

Площадь квадрата равна половине квадрата его диагонали:

см²

Площадь поверхности куба:

см²Пошаговое объяснение:

Answer 2

Для решения данной задачи нам нужно провести сечение куба АВСDA1B1C1D1, параллельное плоскости АВ1С1, и найти площадь этого сечения через точку М. Сначала давайте определим положение точки М и соотношение между В1М и А1М.

Дано: 1. Ребро куба АВСDA1B1C1D1 с длиной А1В1. 2. Соотношение В1М : А1М = 2:1.

Для начала определим, какой процент от общей длины ребра А1В1 составляет В1М. Соотношение 2:1 говорит нам о том, что В1М составляет 2 части из 3 возможных частей. Это означает, что В1М составляет 2/3 длины ребра А1В1, и, следовательно, А1М составляет 1/3 длины ребра А1В1.

Теперь давайте определим положение точки М относительно ребра А1В1. Точка М находится ближе к точке В1, так как В1М > А1М. Таким образом, точка М находится на отрезке В1В1', где В1' - это точка деления ребра А1В1 так, что В1М = А1М.

Теперь, проведем сечение плоскостью, параллельной плоскости АВ1С1 и проходящей через точку М. Это сечение будет параллельно грани АВ1С1 куба. Обозначим точки пересечения с этой плоскостью с гранью АВ1С1 как X, Y и Z, где X и Y лежат на ребре АВ1, а Z на ребре В1С1.

Теперь у нас есть два треугольника: треугольник AXZ и треугольник BYZ, которые образуют сечение плоскостью. Эти треугольники подобны треугольникам АВ1С1 и В1С1D1 из-за параллельности плоскостей. Следовательно, отношение сторон треугольников AXZ и BYZ также будет 2:1.

Для нахождения площади сечения, мы можем воспользоваться отношением площадей подобных фигур. Пусть S1 будет площадью треугольника AXZ, а S2 - площадью треугольника BYZ. Тогда:

S1/S2 = (AXZ/BYZ)^2 = (2/1)^2 = 4

Теперь мы знаем, что площадь треугольника AXZ в 4 раза больше площади треугольника BYZ. Так как S1 + S2 = площадь сечения, мы можем записать:

S1 = 4S2

Теперь нам нужно найти S1 и S2. Площадь треугольника BYZ можно найти, зная его высоту (BY) и основание (YZ). Площадь треугольника AXZ можно найти аналогичным образом. Поскольку треугольники подобны треугольникам АВ1С1 и В1С1D1, то отношение их высот и оснований также будет 2:1.

Пусть H1 и H2 будут высотами треугольников AXZ и BYZ соответственно, а L1 и L2 - длинами их оснований. Тогда:

H1/H2 = 2/1 L1/L2 = 2/1

Теперь, если мы предположим, что H2 = 1 (например, взяв единицу в качестве единицы измерения), то H1 = 2. Аналогично, если L2 = 1, то L1 = 2.

Теперь мы можем найти площади треугольников:

S2 = (1/2) * 1 * 1 = 1/2 S1 = (1/2) * 2 * 2 = 2

Теперь, согласно нашим рассчетам:

S1 = 4S2 = 4 * (1/2) = 2

Итак, площадь сечения, проведенного через точку М и параллельного плоскости АВ1С1, равна 2 квадратным единицам (предполагая, что единицей измерения является, например, квадратный сантиметр, квадратный метр и т. д.).