Question

Найдите область определения функции f(x)= корень из x^2-6x+9/x^2-16

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

$f(x)=\displaystyle \frac{\sqrt{x^2-6x+9} }{x^2-16}$

данная функция определена при

$\displaystyle \left \{ {{x^2-6x+9\geq 0} \atop {x^2-16\neq 0 }\hfill } \right.$

из второго условия ⇒   х ≠  ± 4

из первого условия: у нас парабола ветвями вверх, с вершиной (3;0) поэтому первое условие выполняется при ∀ х

таким образом ООФ  

x ∈ R : x≠ ± 4

Answer 2

Чтобы найти область определения функции f(x) = √(x^2 - 6x + 9)/(x^2 - 16), нужно рассмотреть, какие значения x могут принимать, чтобы функция оставалась определенной и не содержала деления на ноль или извлечения корня из отрицательного числа. Давайте разберемся:

1. Извлечение корня. Функция содержит извлечение корня из выражения √(x^2 - 6x + 9). Корень извлекается из неотрицательных чисел, поэтому выражение под корнем должно быть неотрицательным. Мы знаем, что a квадратное выражение a^2 всегда неотрицательно, так как квадрат любого числа положителен или равен нулю. В данном случае a = x^2 - 6x + 9. Таким образом, x^2 - 6x + 9 должно быть неотрицательным:

x^2 - 6x + 9 ≥ 0

Теперь давайте решим это неравенство. Мы можем заметить, что x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2. Таким образом, неравенство можно переписать как:

(x - 3)^2 ≥ 0

Это неравенство всегда истинно для всех значений x, потому что квадрат любого числа (x - 3) всегда неотрицателен. Следовательно, корень извлекается всегда, и это условие не ограничивает область определения функции.

2. Деление на ноль. Функция содержит деление на x^2 - 16. Чтобы избежать деления на ноль, необходимо, чтобы x^2 - 16 не было равно нулю:

x^2 - 16 ≠ 0

Это уравнение можно решить:

x^2 - 16 = 0

x^2 = 16

x = ±4

Таким образом, x не может равняться 4 или -4, так как это приведет к делению на ноль.

Таким образом, область определения функции f(x) = √(x^2 - 6x + 9)/(x^2 - 16) включает в себя все действительные числа x, кроме x = 4 и x = -4. То есть область определения функции - это множество всех x, таких что x ≠ 4 и x ≠ -4.