Question

У"+6у'+9у=9х^2 помогите решить дифференциальное уравнение

Answer 1

Ответ:

1. ОЛДУ:

$y''+ 6y' + 9y = 0 \\ y = {e}^{kx} \\ {e}^{kx} ( {k}^{2} + 6k + 9) = 0 \\ {(k + 3)}^{2} = 0 \\ k1 = k2 = - 3 \\ y = C1 {e}^{ - 3x} + C2 {e}^{ - 3x} x$

2. Подбираем у с неопределенными коэффициентами

$у = A {x}^{2} + Bx + C\\ у' = 2Ax + B \\ у'' = 2A$

подставляем в нлду

$2A + 6(2Ax + B) + 9(A {x}^{2} + Bx + C) = 9 {x}^{2} \\ 2A + 12Ax + 6B + 9A {x}^{2} + 9 Bx + 9C=9 {x}^{2}$

система:

$9A= 9 \\ 12A+ 9B = 0 \\ 2A + 6B + 9C = 0 \\ \\ A= 1 \\ B = - \frac{12}{9} a = - \frac{4}{3} \\ C= \frac{1}{9} (- 2A - 6B) = \\ = \frac{1}{9} \times ( - 2 + 8) = \frac{2}{3}$

$у = {x}^{2} - \frac{4}{3} x + \frac{2}{3}$

$y = C1 {e}^{ - 3x} + C2 {e}^{ - 3x} x + {x}^{2} - \frac{4x}{3} + \frac{2}{3}$

общее решение

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

y" + 6y' + 9y = 9x^2

Для решения данного уравнения используем характеристическое уравнение. Перепишем уравнение в виде:

r^2 + 6r + 9 = 9x^2

r^2 + 6r = 9x^2

(r + 3)^2 = 9x^2

r + 3 = ±3x

r = -3 ± 3x

Таким образом, частное решение имеет вид:

y(x) = (C1 + C2x)e^(-3x)

где C1 и C2 - произвольные константы.

Теперь рассмотрим общее решение. Применим метод вариации постоянной и найдем общее решение соответствующего однородного уравнения:

y" + 6y' + 9y = 0

Характеристическое уравнение для этого уравнения имеет вид:

r^2 + 6r + 9 = 0

(r + 3)^2 = 0

r = -3

Таким образом, общее решение однородного уравнения имеет вид:

y_h(x) = (C3 + C4x)e^(-3x)

где C3 и C4 - произвольные константы.

Чтобы найти частное решение неоднородного уравнения, используем метод вариации произвольной постоянной. Предположим частное решение в виде:

y_p(x) = Ax^2 + Bx + C

где A, B и C - неизвестные коэффициенты.

Подставим это предположение в исходное уравнение и найдем значения коэффициентов:

y" + 6y' + 9y = 9x^2

2A + 6(2Ax + B) + 9(Ax^2 + Bx + C) = 9x^2

2A + 12Ax + 6B + 9Ax^2 + 9Bx + 9C = 9x^2

(9A)x^2 + (12A + 9B)x + (2A + 6B + 9C) = 9x^2

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем следующую систему уравнений:

9A = 9 --> A = 1 12A + 9B = 0 --> 12 + 9B = 0 --> B = -4/3 2A + 6B + 9C = 0 --> 2 + 6(-4/3) + 9C = 0 --> 2 - 8 + 9C = 0 --> 9C = 6 --> C = 2/3

Таким образом, частное решение имеет вид:

y_p(x) = x^2 - (4/3)x + 2/3

Теперь можно записать общее решение неоднородного уравнения:

y(x) = (C1 + C2x)e^(-3x) + x^2 - (4/3)x + 2/3

где C1 и C2 - произвольные константы.