Question

ПАМАГИТЕ БРАТЬЯ МОИ РОДНЫЕ 1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными: y'=ycosx 2. Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка: y'+ 3. Решить линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами: y"-6y'+13y=0

Answer 1

$1)~ y'=y\cos x\\ \\ \frac{dy}{dx}=y\cos x\\ \\ \int \frac{dy}{y}=\int \cos xdx\\ \\ \ln|y|-\ln C=\sin x\\ \\ y=C\sin x$

2) $y'+\frac{2x}{1+x^2}y=\frac{2x^2}{1+x^2}~~~\Big|\cdot (1+x^2)$

$y'\cdot (1+x^2)+y\cdot 2x=2x^2\\ \\ \Big(y\cdot (1+x^2)\Big)'=2x^2\\ \\ y\cdot (1+x^2)=\int 2x^2dx\\ \\ y\cdot (1+x^2)=\frac{2x^3}{3}+C\\ \\ y=\frac{(2x^3/3)+C}{1+x^2}$

3) Пусть $y=e^{\lambda x}$

$\lambda^2-6\lambda+13=0\\\\ (\lambda-3)^2+4=0\\ \\ \lambda=3\pm 2i$

$y=e^{3x}\cdot \Big(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\Big)$

Answer 2

Конечно, я помогу вам решить эти дифференциальные уравнения.

1. Общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными y' = y * cos(x):

Для решения данного уравнения мы разделим переменные, переместив все, что связано с y, на одну сторону уравнения, а все, что связано с x, на другую сторону:

dy/y = cos(x) dx

Затем интегрируем обе стороны:

∫(1/y) dy = ∫cos(x) dx

ln|y| = sin(x) + C1

где C1 - произвольная постоянная. Теперь найдем выражение для y:

|y| = e^(sin(x) + C1)

y = ±e^(sin(x) + C1)

где ± означает, что у нас есть два общих решения, которые отличаются знаком.

2. Решение линейного дифференциального уравнения первого порядка y' + 3:

Для этого уравнения решение довольно простое:

y' = -3

Интегрируем обе стороны:

∫dy = ∫(-3) dx

y = -3x + C2

где C2 - произвольная постоянная.

3. Решение линейного однородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами y" - 6y' + 13y = 0:

Для решения этого уравнения характеристическое уравнение будет иметь вид:

r^2 - 6r + 13 = 0

Решим это квадратное уравнение для r:

r = (6 ± √(-20))/2 = 3 ± √5 * i

где i - мнимая единица.

Таким образом, общее решение будет иметь вид:

y(t) = e^(3t) * (A * cos(√5 * t) + B * sin(√5 * t))

где A и B - произвольные постоянные.

Это и есть общее решение заданного дифференциального уравнения.