Question

2. Пусть а и b — натуральные числа. Известно, что a+b+1=ab. Докажите, что (а+1)(b+1) делится на 4.​

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

a+b+1=ab

a+1=ab-b=b*(a-1)

****************

b+1=ab-a =a*(b-1)

****************

(а+1)(b+1)=b*(a-1)*a*(b-1)

(a-1)*a - один из множителей делится на 2, так как из двух последовательных натуральных чисел одно четное

(a-1)*a = 2*k (где k - некоторое целое ненулевое число)

b*(b-1) - один из множителей делится на 2, так как из двух последовательных натуральных чисел одно четное

b*(b-1)=2*m (где m - некоторое целое ненулевое число)

************************

(а+1)(b+1)=b*(a-1)*a*(b-1) = 2*k*2*m - делится на 4

Answer 2

Для доказательства этого утверждения, давайте начнем с того, что у нас есть уравнение:

a + b + 1 = ab

Мы хотим доказать, что выражение (a + 1)(b + 1) делится на 4. Для этого давайте раскроем скобки в этом выражении:

(a + 1)(b + 1) = ab + a + b + 1

Теперь мы видим, что (a + 1)(b + 1) включает в себя все те же слагаемые, что и в исходном уравнении a + b + 1 = ab, а также добавляет 1 к этой сумме.

Подставим значение a + b + 1 из исходного уравнения в выражение (a + 1)(b + 1):

(a + 1)(b + 1) = ab + (a + b + 1)

Теперь мы видим, что выражение (a + 1)(b + 1) эквивалентно выражению ab + (a + b + 1). Мы также знаем, что a + b + 1 = ab, поэтому мы можем заменить это значение:

(a + 1)(b + 1) = ab + (ab)

Теперь у нас есть:

(a + 1)(b + 1) = 2ab

Теперь мы видим, что (a + 1)(b + 1) равно удвоенному значению ab. Из этого следует, что (a + 1)(b + 1) делится на 2. Теперь, чтобы показать, что оно также делится на 4, нам нужно понять, когда произведение двух натуральных чисел делится на 4.

Произведение двух натуральных чисел делится на 4, если оба эти числа четные. Рассмотрим два случая:

1. Если и a, и b - четные числа, то они оба делятся на 2. Значит, их произведение ab также делится на 4. Таким образом, (a + 1)(b + 1) делится на 4.

2. Если хотя бы одно из чисел a и b - нечетное, то произведение ab не делится на 4. Однако, в этом случае, (a + 1)(b + 1) всегда будет четным числом, так как и a + 1, и b + 1 - четные числа (ведь даже число + 1 всегда будет нечетным). Следовательно, (a + 1)(b + 1) также делится на 4.

Таким образом, мы доказали, что вне зависимости от четности или нечетности чисел a и b, выражение (a + 1)(b + 1) всегда делится на 4.