Question

Частица совершает простое гармоническое движение. Отклонение от центра колебания частицы равно x метрам в момент времени t секунд Покажите, что функция x=Acos6t+Bsin6t является общим решением дифференциального уравнения: (d^2 x)/(dt^2 )+36x=0 Частное решение дифференциального уравнения при t=π/4 такое, что x=-2 и dx/dt=12√3. Найдите значение A и значение B, определите это частное решение.

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

Найдем вторую производную от решения   x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t)

$\displaystyle \frac{dx}{dt } = \bigg (Acos(6t) +Bsin(6t)\bigg )'_t=-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\\\\frac{d^2x}{dt^2} =\bigg (-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\bigg )'_t=-36Acos(6t)-36Bsin(6t)$

Дальше   x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) подставим в полученную вторую производную

$\displaystyle \frac{d^2x}{dt^2} =-36x\qquad \qquad \frac{d^2x}{dt^2} +36x=0$

т.е мы получили исходное дифференциальное уравнение.

Следовательно, x(t) =Acos(6t)+Bsin(6t) есть общее решение этого уравнения. Что и требовалось доказать.

Дальше будем искать частное решение.

Возьмем первое условие

$\displaystyle x=Acos(6t)+Bsin(6t)\\\\-2 = Acos\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)+Bsin\bigg(\frac{6\pi }{4} \bigg)\\\\-2=A*0+B*(-1)\\\\\boldsymbol {B=2}$

Теперь второе условие

$\displaystyle \frac{dx}{dt} =-6Asin(6t)+6Bcos(6t)\\\\12\sqrt{3} = -6Asin\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)+6Bcos\bigg(\frac{3\pi}{2} \bigg)\\\\12\sqrt{3} =-6A*(-1)+6B*0\qquad \qquad \\\\\boldsymbol {A=2\sqrt{3} }$

И тогда частное решение будет

$\boldsymbol {x(t)=2\sqrt{3} cos(6t)+2sin(6t)}$

Answer 2

Для решения данной задачи, нам нужно подставить функцию x в дифференциальное уравнение и проверить, выполняется ли оно. Затем, мы используем условие, что x=-2 и dx/dt=12√3, чтобы найти значения A и B.

1. Подставляем функцию x в дифференциальное уравнение:

(d^2x)/(dt^2) + 36x = 0

Подставляем x = Acos(6t) + Bsin(6t):

(d^2/dt^2)(Acos(6t) + Bsin(6t)) + 36(Acos(6t) + Bsin(6t)) = 0

Применяем правила дифференцирования и упрощаем выражение.

2. Используем условие, что x=-2 и dx/dt=12√3 в момент времени t=π/4:

В момент времени t=π/4, функция x равна:

x = Acos(6π/4) + Bsin(6π/4) = A(-√2) + B(√2/2) = -A + B√3

Так как x=-2, то -A + B√3 = -2. Из этого уравнения мы можем найти значения A и B.

Также, мы знаем, что dx/dt = 12√3. Подставляем это в дифференциальное уравнение и решаем его относительно t. Это даст нам значение t, которое мы затем подставляем в функцию x, чтобы найти соответствующие значения A и B.

3. Найденные значения A и B позволят нам определить частное решение дифференциального уравнения.

Пожалуйста, обратите внимание, что этот процесс требует знаний в области дифференциальных уравнений и дифференцирования.