Question

Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а(3;2) та b(1;-2) с точностью до 0,01.

Answer 1

Ответ:

$\tt \displaystyle cos\alpha \approx 0,45$

Пошаговое объяснение:

Векторы d1 и d2, направленные по диагоналям параллелограмма определяем как разность векторов a и b (см. рисунок: зелёный вектор) и как сумма векторов a и b (см. рисунок: красный вектор):

d1 = a - b = (3; 2) - (1; -2) = (3-1; 2-(-2)) = (2; 4),

d2 = a + b = (3; 2) + (1; -2) = (3+1; 2+(-2)) = (4; 0).

Скалярное произведение векторов d1(x₁; y₁) и d2(x₂; y₂) можно определить по формулам:

d1·d2=x₁·x₂+y₁·y₂ и d1·d2=|d1|·|d2|·cosα,

где |d1| и |d2| длины векторов, соответственно, d1 и d2, α - угол между векторами d1 и d2.

Определяем длины векторов d1 и d2:

$\tt \displaystyle |d1| = \sqrt{x_1^2+y_1^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{20}=2 \cdot \sqrt{5}, \\\\|d2| = \sqrt{x_2^2+y_2^2}=\sqrt{4^2+0^2}=\sqrt{16}=4.$

Скалярное произведение векторов d1(x₁; y₁) и d2(x₂; y₂) определяем через координаты:

d1·d2=2·4+4·0=8.

Тогда косинус угла между векторами d1 и d2 равен:

$\tt \displaystyle cos\alpha =\frac{d_1 \cdot d_2}{|d_1| \cdot |d_2|}= \frac{8}{2 \cdot \sqrt{5} \cdot 4}=\frac{1}{\sqrt{5}} \approx 0,45.$

Answer 2

Для начала рассчитаем соответствующие диагонали параллелограмма.

Диагонали параллелограмма, построенного на векторах a и b, можно найти с помощью следующей формулы: d1 = sqrt(a^2 + b^2 + 2ab*cos(theta)) d2 = sqrt(a^2 + b^2 - 2ab*cos(theta))

Где d1 и d2 - диагонали, a и b - векторы, и theta - угол между векторами a и b.

Сначала найдем значение theta (угол между векторами a и b): cos(theta) = (a*b) / (||a||*||b||)

Где a*b - скалярное произведение векторов a и b, ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b.

Для нашего случая: a = (3, 2) b = (1, -2)

Найдем длины векторов a и b: ||a|| = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13) ||b|| = sqrt(1^2 + (-2)^2) = sqrt(1 + 4) = sqrt(5)

Теперь найдем скалярное произведение векторов a и b: a*b = 3*1 + 2*(-2) = 3 - 4 = -1

Подставим все значения в формулу для cos(theta): cos(theta) = (-1) / (sqrt(13) * sqrt(5)) = -1 / (sqrt(65))

Теперь найдем диагонали d1 и d2: d1 = sqrt(3^2 + 2^2 + 2*3*1 / (sqrt(65))) = sqrt(9 + 4 + 6 / (sqrt(65))) d2 = sqrt(3^2 + 2^2 - 2*3*1 / (sqrt(65))) = sqrt(9 + 4 - 6 / (sqrt(65)))

Рассчитаем значения диагоналей с помощью калькулятора или программы: d1 ≈ 6,83 (сокращенно) d2 ≈ 1,74 (сокращенно)

Теперь рассчитаем косинус угла между диагоналями: cos(угол между диагоналями) = (d1^2 + d2^2 - 4 * a^2) / (4 * d1 * d2) где a - длина стороны параллелограмма

a = sqrt(3^2 + 2^2) = sqrt(9 + 4) = sqrt(13)

Подставим все значения: cos(угол между диагоналями) = (6,83^2 + 1,74^2 - 4 * 13) / (4 * 6,83 * 1,74) ≈ -0,53

Таким образом, косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах a(3;2) и b(1;-2), с точностью до 0,01, равен примерно -0,53.