Question

В течение первого месяца эксплуатации исправно функционируют 90% новых электрических лампочек. В люстру вкрутили 5 новых лампочек. Найти вероятность того, что в течение месяца: а) «сгорят» две лампочки; б) не «сгорит» ни одна лампочка; в) «сгорит» не более двух лампочек.

Answer 1

а) Вероятность того, что в течение месяца сгорят две лампочки равна $C^2_5p^2(1-q)^3=\frac{5!}{2!3!}\cdot 0{,}9^2\cdot 0{,}1^3=0{,}0081$

б) Вероятность того, что в течение месяца не "сгорит" ни одна лампочка равна $(1-p)^5=0{,}1^5=0{,}00001$

в) Вероятность того, что в течение месяца "сгорит" не более двух лампочек равна $0{,}00001+C^1_5pq^4+0{,}0081=0{,}00856$

Answer 2

Для решения данной задачи используем биномиальное распределение, так как у нас есть два исхода (лампочка "сгорит" или "не сгорит") и вероятности этих исходов известны.

Пусть p - вероятность того, что одна лампочка сгорит в течение месяца. Из условия известно, что 90% лампочек работают исправно, поэтому вероятность того, что лампочка сгорит, составляет 10% или 0.1.

а) Найти вероятность того, что "сгорят" две лампочки. В данном случае мы ищем вероятность того, что две лампочки из пяти "сгорят". Это можно рассматривать как биномиальное распределение с параметрами n = 5 (количество попыток) и p = 0.1 (вероятность успеха).

P(2 "сгорело") = C(5, 2) * (0.1)^2 * (0.9)^(5-2), где C(5, 2) - число сочетаний из 5 по 2.

P(2 "сгорело") = 10 * (0.01) * (0.81) = 0.081.

Ответ: вероятность того, что "сгорят" две лампочки, равна 0.081 или 8.1%.

б) Найти вероятность того, что не "сгорит" ни одна лампочка. В этом случае мы ищем вероятность того, что ни одна лампочка из пяти не сгорит. Это также биномиальное распределение с параметрами n = 5 и p = 0.1.

P(ни одна "не сгорела") = (0.9)^5 = 0.59.

Ответ: вероятность того, что не "сгорит" ни одна лампочка, равна 0.59 или 59%.

в) Найти вероятность того, что "сгорит" не более двух лампочек. Для этого нужно найти вероятность того, что 0, 1 или 2 лампочки "сгорят". Это можно выразить как сумму вероятностей:

P(0 "сгорело") + P(1 "сгорело") + P(2 "сгорело").

Мы уже нашли P(0 "сгорело") и P(2 "сгорело") в предыдущих ответах. Теперь найдем P(1 "сгорело):

P(1 "сгорело") = C(5, 1) * (0.1)^1 * (0.9)^(5-1) = 5 * 0.1 * 0.6561 = 0.32805.

Теперь сложим все три вероятности:

P(не более 2 "сгорело") = P(0 "сгорело") + P(1 "сгорело") + P(2 "сгорело") = 0.59 + 0.32805 + 0.081 = 0.99905.

Ответ: вероятность того, что "сгорит" не более двух лампочек, равна 0.99905 или 99.905%.