Question

Докажите, что данное уравнение является уравнением сферы. Найдите координаты центра и радиус этой сферы. x²-4x+y²+z²+7z=0

Answer 1

уравнение сферы в прямоугольных координатах

(x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r²

a,b,c - центр, r - радиус

x² - 4x + y² + z² + 7z = 0

x² - 4x + 4 - 4 + y² + z² + 7z + 49/4 - 49/4=0

x² - 2*2*x + 2²  + y² + z² + 2*7/2*z + (7/2)² =4 + 49/4

(x - 2)² + y² + (z + 7/2) = 16.25

центр - (2, 0, -7/2)  радиус √16.25

Answer 2

Чтобы доказать, что данное уравнение является уравнением сферы, мы должны преобразовать его к каноническому виду уравнения сферы.

Общее уравнение сферы имеет вид:

\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2 \]

где (a, b, c) - координаты центра сферы, а \(r\) - радиус сферы.

Рассмотрим данное уравнение:

\[ x² - 4x + y² + z² + 7z = 0 \]

Для преобразования его к каноническому виду, давайте завершим квадраты для \(x\) и для \(z\):

\[ x^2 - 4x + 4 + y^2 + z^2 + 7z + \frac{49}{4} = 4 + \frac{49}{4} \]

Теперь можем записать уравнение в следующем виде:

\[ (x - 2)^2 + y^2 + (z + \frac{7}{2})^2 = \frac{65}{4} \]

Сравнивая это с каноническим уравнением сферы, мы видим, что данное уравнение является уравнением сферы.

Таким образом, координаты центра сферы \(C\) и её радиус \(r\) такие, что:

\[ C(2, 0, -\frac{7}{2}) \] \[ r = \sqrt{\frac{65}{4}} \]