Question

Сумма первых трех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 18, а сумма всех ее членов 16. Найти сумму всех положительных членов прогрессии

Answer 1

Пошаговое объяснение:

$\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_2+b_3=18\\\\S=\frac{b_1}{1-q} =16\end{array}\right=\left\{\begin{array}{ccc}b_1+b_1q+b_1q^2=18\\\\\frac{b_1}{1-q}=16 \end{array}\right =\\=\left\{\begin{array}{ccc}b_1*(1+q+q^2)=18\\\\\frac{b_1}{1-q} \end{array}\right =\left\{\begin{array}{ccc}b_1=\frac{18}{1+q+q^2} \\\\\frac{b_1}{1-q}=16 . \end{array}\right.\\\frac{18}{(1-q)(1+q+q^2)}=16|:2\\\frac{9}{1-q^3}=8\\9=8-8q^3\\8q^3=-1|:8\\q^3=-\frac{1}{8}\\ q=\sqrt[3]{-\frac{1}{8} } \\q=-\frac{1}{2}.\Rightarrow$

$b_1*(1+(-\frac{1}{2}+(-\frac{1}{2})^2)=18\\ b_1*(1-\frac{1}{2} +\frac{1}{4})=18\\\frac{3}{4} *b_1=18|*\frac{4}{3} \\b_1=24.\Rightarrow$

Убывающая геометрическая прогрессия имеет вид:

24; -12; 6; -1,5; 0,75; ...

q (положительных членов прогрессии):

$q_p=\frac{b_3}{b_1} =\frac{6}{24} =\frac{1}{4}\Rightarrow\\ S_p=\frac{b_1}{1-q_p}=\frac{24}{1-\frac{1}{4} } =\frac{24}{\frac{3}{4} }=\frac{24*4}{3} =8*4=32.$

Ответ: сумма всех положительных членов убывающей геометрической прогрессии = 32.

Answer 2

Давай разберемся с этой геометрической прогрессией. Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а знаменатель \(q\). Тогда общий член прогрессии можно выразить как \(a_n = a \cdot q^{n-1}\), где \(n\) - номер члена.

Сумма первых трех членов прогрессии будет равна \(S_3 = a + aq + aq^2\), и по условию задачи она равна 18:

\[S_3 = a + aq + aq^2 = 18\]

Также у нас есть информация, что сумма всех членов прогрессии равна 16:

\[S_\infty = \frac{a}{1 - q} = 16\]

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

\[ \begin{align*} a + aq + aq^2 &= 18 \quad \text{(1)} \\ \frac{a}{1 - q} &= 16 \quad \text{(2)} \end{align*} \]

Давай решим эту систему. Сначала из уравнения (2) найдем \(a\):

\[a = 16(1 - q)\]

Теперь подставим это значение в уравнение (1):

\[16(1 - q) + 16(1 - q)q + 16(1 - q)q^2 = 18\]

Раскроем скобки и упростим уравнение. После этого найдем значения \(q\) и \(a\).

После нахождения \(q\) и \(a\) мы можем найти сумму положительных членов прогрессии. Сумма положительных членов геометрической прогрессии, если \(|q| < 1\), выражается формулой:

\[S_{\text{положительные}} = \frac{a}{1 - q}\]