Question

1) Первый член геометрической прогрессии равен 2, а четвёртый равен 54. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии. 2) Сумма убывающей геометрической прогрессии равна 38, а сумма первого и второго его членов равна 9. Найдите два первых члена этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

1) b1=2, b4=54, S5=?

b4=b1q³

q³=b4/b1=54/2=27=3³

b5=b1q⁴=2×81=162

S5=2×(1-3⁵)/(1-3)=2×(-242)/-2=-484/-2=242

Ответ: 242

Answer 2

1. Чтобы найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, нам нужно знать значение её первого члена (a) и её знаменателя (r).

Из условия задачи известно, что первый член равен 2 (a = 2) и четвёртый член равен 54. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти знаменатель прогрессии (r).

Четвёртый член прогрессии связан с первым членом следующим образом: a * r^3 = 54

Подставим значение первого члена (a = 2) и решим уравнение относительно r: 2 * r^3 = 54 r^3 = 27 r = 3

Теперь у нас есть значение первого члена (a = 2) и знаменателя (r = 3). Мы можем использовать эти значения, чтобы найти сумму пяти первых членов прогрессии.

Формула для суммы пяти первых членов геометрической прогрессии: S = a * (1 - r^5) / (1 - r)

Подставим значения: S = 2 * (1 - 3^5) / (1 - 3) S = 2 * (1 - 243) / (-2) S = 2 * (-242) / (-2) S = 242

Сумма пяти первых членов этой геометрической прогрессии равна 242.

2. Сумма первого и второго членов убывающей геометрической прогрессии равна 9. Мы обозначим первый член прогрессии как a, а знаменатель как r.

Из условия задачи известно, что сумма первого и второго членов равна 9: a + a * r = 9

Мы хотим найти значения первого члена (a) и знаменателя (r), удовлетворяющие этому уравнению.

Также известно, что сумма убывающей геометрической прогрессии равна 38: a / (1 - r) = 38

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными (a и r). Мы можем решить эту систему уравнений методом подстановки или методом исключения.

Давайте решим её методом подстановки. Разрешим первое уравнение относительно a: a = 9 / (1 + r)

Теперь подставим это значение a во второе уравнение: (9 / (1 + r)) / (1 - r) = 38

Упростим выражение: 9 / (1 + r) * (1 + r) / (1 - r) = 38 9 / (1 - r^2) = 38 9 = 38 - 38r^2 38r^2 = 38 - 9 38r^2 = 29 r^2 = 29 / 38 r = ±sqrt(29 / 38)

Мы получили два значения для знаменателя прогрессии. Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти соответствующие значения первого члена прогрессии.

Подставим первое значение знаменателя в первое уравнение и решим его относительно a: a = 9 / (1 + sqrt(29 / 38))

Теперь подставим второе значение знаменателя и решим его относительно a: a = 9 / (1 - sqrt(29 / 38))

Мы получили два значения первого члена прогрессии, соответствующих двум значениям знаменателя.

Итак, два первых члена убывающей геометрической прогрессии равны: a = 9 / (1 + sqrt(29 / 38)) или a = 9 / (1 - sqrt(29 / 38))